湖北省黄冈市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省黄冈市2025届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共12页。
项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得 0 分）
1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别
代表“立春”、“立夏”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ）
A. 或 1 B. C.1 D.
3.下列说法正确的是（ ）
A.“明天会天晴”是随机事件
B.射击运动员射击一次，命中八环是必然事件
C.“翻开九年级上册数学课本，恰好是第 38 页”是不可能事件
D.“太阳从西方升起”是必然事件
4.关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0，则 m 的值为（ ）
A.4 B.2 C. D.
5.一个箱子里有 7 个白球，2 个红球，1 个黑球，它们除颜色外其余均相同.从箱子里任意摸出一个球是红球
的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A.2025 B.2023 C. D.
7.二次函数 （a，b，c 为常数， ）部分 x，y 的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 1 1 5 …
则下列判断中正确的是（ ）
A.函数图象的开口向下 B.当 时，y 随 x 的增大而增大
C.当 时， D.y 最小值为
8.如图， ， ，将 绕点 A 逆时针旋转到 ，连接 CD，若点 D，C，
B 在同一条直线上，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，C、D 是以线段 AB 为直径的 上两点（位于 AB 两侧）， ，且 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，二次函数 的图象与 x 轴的正半轴交于点 ， ，与 y 轴的负
半轴交于点 B，对称轴为直线 .下列结论中，其中判断正确的是（ ）
① ；②若点 ， 在图象上，则 ；③ ；
④若点 ， 在图象上，则
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
二、细心填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.请将结果直接填写在答题卡相应位
置上）
11.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点为 ，则 __________.
12.若 a 是方程 的根，则代数式 的值是__________.
13.写出一个图象过点 且其对称轴右侧 y 的值随着 x 值增大而减小的二次函数表达式__________.
14.如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关 ， ， 中的两个，则灯泡 亮起来的概率是
__________.
15.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是
局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式.如图，弧 AB 是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，点 C 是弦
AB 的中点， ，D 在弧 AB 上.“会圆术”给出弧 AB 的弧长的近似值 s 的计算公式：
.当 ， 时， __________.
三、专心解一解（本大题共 9 小题，共 75 分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16.（本题满分 6 分）解方程：
（1） ；
（2） .
17.（本题满分 6 分）如图， 的顶点坐标分别为 ， ， .
（1）画出 关于点 O 成中心对称的 ；
（2）写出坐标： __________， __________.
18.（本题满分 8 分）某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：川剧，D：书法”等中国传统文化项目
的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如图
不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：
（1）这次调查中，一共调查了__________名学生，并把条形统计图补充完整.
（2）如果该校共有 3200 名学生，请估计该校最喜爱项目 D 的学生有多少人？
（3）项目 A 中有 2 男 2 女特别优秀，准备在项目 A 中选 2 名选手参加区级古诗词比赛，请用画树状图或列
表的方法求恰好选中 2 名男生的概率.
19.（本题满分 8 分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 和 B
两点.
（1）求 k 的值；
（2）点 P 为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交函数 的图象于点
Q，若 的面积为 4，求点 Q 的坐标.
20.（本题满分 8 分）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器.某商场有 A 型、B
型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台 A 型取暖器的售价比每台 B 型取暖器售价少 40 元，顾客用 1200
元购入 A 型取暖器的数量与用 1440 元购入 B 型取暖器的数量相等.
（1）每台 A 型取暖器与每台 B 型取暖器的售价分别为多少元？
（2）每台 B 型取暖器的进价为 140 元，据统计，商场每月卖出 B 型取暖器 60 台.新年前夕，为了尽快减少
库存，商场决定对 B 型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台 B 型取暖器的售价每降低 10 元，那么平
均每月可多售出 25 台，若商场要想每月销售 B 型取暖器的利润达到 9600 元，则每台 B 型取暖器应降价多
少元？
21.（本题满分 8 分）如图，以 的边 AB 为直径的 交 BC 边于点 D，交 CA 的延长线于点 E，且
.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求阴影部分的面积.
22.（本题满分 9 分）某生物兴趣小组为研究某种生长素对植物生长的作用，利用黄瓜苗进行了相关实验，
如图，一根使用了生长素的黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈抛物线形，黄瓜藤的藤根 O 在地面上，
藤梢位于点 M 处，矩形 ABCD 是钢圈的支架（O、A、B 三点共线），以点 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x
轴，过点 O 且垂直于 OA 的竖直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，支架的顶点 C、D 均在抛物线
上，点 P 为抛物线的顶点，经测量， ，顶点 P 到 x 轴、y 轴的距离依次为 8dm、4dm.已知图中
所有的点都在同一平面内.
（1）求抛物线的函数解析式和支架的高度 AD；
（2）已知藤梢 M 到 x 轴的距离为 3.5dm，求藤梢 M 到 y 轴的距离.
23.（本题满分 10 分）（1）如图 1，在四边形 ABCD 中， ，点 E 是 BC 中点，若 AE 是 的平
分线，可判断：AB、AD、CD 之间的等量关系是__________；
（2）如图 2，在四边形 ABCD 中， ， ，点 E 是 AD 边的中点， ，
， ，求 BC 的长；
（3）如图 3，在四边形 ABCD 中， ，点 N 是 DC 延长线上一点，连接 AN，点 M 是 BC 的中点，
且 AM 平分 ，试探究 AB，AN，CN 之间的数量关系，并证明你的结论.
（图 1） （图 2） （图 3）
24.（本题满分 12 分）如图，抛物线 与 x 轴交于点 ， ，与 y 轴交于点 C，
连接 BC，点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C，B 重合），过点 P 作 轴交抛物线于点 Q.
图 1 图 2 备用图
（1）求抛物线的表达式和对称轴；
（2）设 P 的横坐标为 t，请用含 t 的式子表示线段 PQ 的长，并求出线段 PQ 的最大值；
（3）已知点 M 是抛物线对称轴上的一个点，点 N 是平面直角坐标系内一点，当线段 PQ 取得最大值时，是
否存在这样的点 M，N，使得四边形 PBMN 是菱形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明
理由.
2025 年中考模拟考试数学试卷（迎春卷）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B A B D B C
10.【解析】由条件可知 ， ， ， ， ，
结合函数图象可知，当 时，抛物线上的点在 A 点右侧，一定在 x 轴的上方，
当 时， ，即 ，
将 代入 可得， ， ，故选项①正确；
由条件可知 关于对称轴直线 的对称点的坐标为 ，
则点 和 都在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，
， ， ，故选项②正确；
将 代入 可得， ， ， ， ，即 ，
故选项③正确，
， ， 在抛物线上关于对称轴对称，
， ， ， ，
抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于 ，当 时， ，
将 代入 可得， ，
， ，故选项④错误，故选：C.
11. . 12.2021. 13. （答案不唯一）. 14. .
【解析】连接 OC，如图：
是的弦 AB 中点， ， ， ，D，O 共线， ， ，
设圆的半径为 r，则 ，在 中，根据勾股定理，得 ，
即 ，解得 ， ， .
故答案为：12.4.
16.解：（1） ， ，
， 或 ， ， ；
（2） ， ， ， ，
， ， .
17.解：（1） 关于点 O 成中心对称的 ，如图即为所求；
（2） 关于点 O 成中心对称的 ， ， ， ， .
18.解：（1）依题意得： （人），
在这次调查中，一共调查的总人数为 200 人，
B 项目人数为 （人），补全图形如下：
故答案为：200；
（2） （人）， 该校最喜爱项目 A 的学生约有 800 人；
（3）若用 ， 表示 2 名男生，用 ， 表示 2 名女生，列表得：
—
—
—
—
—
由列表可见，所有可能出现的结果共有 12 种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中 2 名男生的
结果有 2 种， （恰好选中 2 名男生） .
19.解：（1） 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ，
， ， ， ；
（2）由 ，解得 或 ，设点 Q 的坐标为 ，则 ，
，
， ， ，
解得 ， ， ，
点 Q 的坐标为 或 或 .
20.解：（1）设每台 A 型取暖器的售价为 x 元，则每台 B 型取暖器的售价为 元，
由题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意， ，
答：每台 A 型取暖器的售价为 200 元，则每台 B 型取暖器的售价为 240 元；
（2）设每台 B 型取暖器应降价 y 元，
由题意得： ，
整理得： ，解得： ， ， 尽快减少库存， ，
答：每台 B 型取暖器应降价 40 元.
21.（1）证明：连接 AD， 是 的直径， ， ，
又 ， ， ， ， ；
（2）解：连接 OD、OE， ， ，
， ，
， ， ，
是等边三角形， ， ，
.
22.解：（1）由题意得：抛物线的顶点 P 坐标为 ，
设抛物线的解析式为： ，
过点 ， ，解得： ，
抛物线的函数解析式为： ；
当 时， ， 支架的高度 AD 为 6dm；
（2）当 时， ，整理得：
解得： ， （不合题意，舍去）， 藤梢 M 到 y 轴的距离为 7.
23.解：（1）延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，
， ， ，
点 E 是 BC 的中点， ，
，
， 是 的平分线， ，
， ，
故答案为： ；
（2）延长 CE 交 BA 的延长线于点 F，
， ， ， 点 E 是 AD 的中点， ，
，
， ， ， ， ， ，
， ；
（3） .证明：延长 AM，DC 相交于点 P，
同（1）的方法得， ， ，
是 的角平分线，
， ， ，
， ，
， .
24.解：（1）抛物线 与 x 轴交于点 ， ，
， 抛物线的对称轴为直线 ；
（2）由抛物线表达式得：C 点坐标为 ，
设直线 BC 的表达式为 ，将点 B 的坐标代入上式得 ，
故直线 BC 的表达式为 ，设点 ，则点 ，
则 ，
，故 PQ 有最大值，当 时，PQ 的最大值为 ；
（3）存在这样的点 M，N，使得四边形 PBMN 是菱形；
点 M 的坐标为 或 ；理由如下：
当 时，点 ，设点 ，而点 ；
四边形 PBMN 是菱形，则 ，
即 ，解得： ，
综上所述，存在这样的点 M，N，使得四边形 PBMN 是菱形；点 M 的坐标为 或 .