湖北省黄冈市黄梅县多校联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
【详解】解；的相反数是，
故选D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
依据轴对称图形与中心对称的概念逐项判定即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，并在数轴上表示．解出该不等式，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴该不等式的解集在数轴上表示为：
故选D．
4. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的减法，幂的乘方，算术平方根，合并同类项对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
，B正确，故符合要求；
，C错误，故不符合要求；
，D错误，故不符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，幂的乘方，算术平方根，合并同类项．熟练掌握二次根式的减法，幂的乘方，算术平方根，合并同类项是解题的关键．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 一个游戏中奖的概率是，则做次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式
C. 一组数据的众数是
D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则乙组数据比甲组数据波动小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了统计有关的知识，根据与统计有关的基础知识依次分析各选项即可判断，掌握统计有关的基础知识是解题的关键．
【详解】解：．一个游戏中奖的概率是，做次这样的游戏不一定会中奖，该选项错误，不合题意；
．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，该选项正确，符合题意；
．一组数据的众数是，该选项错误，不合题意；
．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据波动小，该选项错误，不合题意；
故选：．
6. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
【详解】∵直角三角板的直角顶点在直线上，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7. 一个多边形的内角和是，这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式解答即可．
【详解】设边数为，根据题意，得
，
解得．
∴这个多边形为六边形，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点N的坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于x轴的两个点的纵坐标相同求解即可．
【详解】解：∵点，轴，，
∴点N坐标是或，
故选：D．
9. 如图，在中，点在上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则有，再根据角度和差得到，再通过圆周角定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及应用．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴位置、函数的增减性、特殊点的位置等进行逐项判断求解即可．
【详解】解：A、由图象知，当时，，故选项A错误，不符合题意；
B、∵图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，其对称轴为直线，图象经过点，
∴，，，，
∴，故选项B正确，符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而增大是错误的，故选项D不符合题意；
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 计算________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，根据分式的加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
13. 《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题，如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？
答：（1）共有________人买鸡；（2）鸡价为________文钱．
【答案】 ①. 9 ②. 70
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设合伙买鸡者有人，鸡的价格为文钱，根据“如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设合伙买鸡者有人，鸡的价格为文钱，
根据题意得：，
解得：．
故合伙买鸡者有9人，鸡的价格为70文钱．
故答案为：9；70
14. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴铁塔的高度为
故答案为：
15. 已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则____________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质特点，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，连接，根据折叠的性质和矩形的性质可得与是直角三角形，，再根据即可证明．根据全等三角形的性质可得，可设，则，在中，根据勾股定理可求的长，即的长，再在中，根据勾股定理可求的长，从而求出的长．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是矩形，
∴，，.
由折叠的性质可得：．
∴，．
是的中点，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴=，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零次幂，再合并即可．
【详解】解：
.
17. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。
【详解】证明：如图，

，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
（），
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
∴四边形是菱形.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键．
18. 为美化校园环境，学校计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购进的单价相同．求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
【答案】每盆杜鹃花价格为15元，每盆四季海棠价格为10元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，根据“第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元”正确建立方程组是解题关键．
【详解】解：设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，
根据题意，得，
解得；
答：每盆杜鹃花价格为15元，每盆四季海棠价格为10元．
19. 某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，已知七、八年级各有300人，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，190，194，192，199，194，100．
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
【应用数据】
（1）根据以上信息，求出a、b的值；
（2）甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是哪个年级的学生？由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是哪个年级？简述理由．
（3）学校规定测试成绩不低于90分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生共有多少人？
【答案】（1），
（2）甲同学是八年级的学生，学生测试成绩较稳定的是八年级
（3）360人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、样本估计总体，正确求出中位数，会利用统计图作决策是解答的关键．
（1）将七年级15名学生测试成绩从小到大排列，位于第8位置的数据即为中位数；找出八年级15名学生测试成绩中出现次数最多的数据即为众数；
（2）根据两个年级的中位数即可得出甲同学是哪个年级的；根据方差越小，成绩越稳定即可作出判断；
（3）根据样本估计总体分别求得两个年级不低于90分为“优秀”人数即可．
【小问1详解】
解：将七年级15名学生测试成绩从小到大排列：78，83，85，87，89、94，97，98，100，100，190，192，194，194，199，则中位数；
八年级15名学生测试成绩中87出现了3次，次数最多，故众数；
【小问2详解】
解：∵七年级学生测试成绩的中位数为98，八年级学生测试成绩的中位数是92，又甲同学的成绩93分，位于年级中等偏上水平
∴甲同学是八年级的学生；
∵七年级学生测试成绩的方差为40.9，大于八年级学生测试成绩的方差29.7，
∴学生测试成绩较稳定的是八年级．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生共有360人．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A是直线第一象限内一点，四边形是平行四边形，，反比例函数的图象经过点A，与交于点D，平行四边形的面积是48．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点M是四边形内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线经过点M时，请求出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，点，的纵坐标是8，设，则，，根据反比例函数系数得出，解得，即可求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式；
（2）分别求得直线经过点和点时的的值，结合图象即可求得的取值范围．
小问1详解】
解：平行四边形的面积是48，，
∴，点，的纵坐标是8，
设，则，
点为的中点，
．
反比例函数 的图象经过点和点，
，解得，
点的坐标分别是，
，
反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
点是四边形内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线经过点时，的取值范围是．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等：
（1）连接，根据得到，结合得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）连接，由为直径，得到，进而求出，再求出，则，，证明是等边三角形，得到，最后根据进行求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
．
22. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【答案】（1）；
（2）纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．
（1）销售量原来的销售量提升的价格，把相关数值代入化简即可；
（2）利润每件纪念品的利润销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润；
（3）让（2）中的利润得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价的取值范围．
【小问1详解】
解：．
关于的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：
．
抛物线的对称轴为：．
，，
当时，有最大值，最大值为：；
答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
【小问3详解】
解：捐款后每天剩余利润不低于2200元，
．
．
当时，
．
，
．
，．
，，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，．
答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围为：．
23. 已知点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接，．
（1）问题发现：如图1所示，若和均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是________；
（2）类比探究：如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，证明得到即可得到结论；
（3）先根据等腰直角三角形的性质和得到，，证明得到，分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案：；
【小问2详解】
解：，理由为：
如图2，∵，，
∴，，
∴，，则，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，则，
∴，
当点D在线段上时，如图4，
∵，，，
∴由得，
∴，
则，
∴；
当E在线段上时，如图5，
则，
∴，
综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解答的关键是找到全等三角形或相似三角形解决问题．
24. 已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与x轴分别交于C、D两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图，点M是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点M作x轴的平行线与直线交于点N，求的最大值；
（3）点P的横坐标为，点Q的横坐标为m，且，设此抛物线在点P与点B之间（含点P与点B）最高点与最低点的纵坐标之差为，在点B与点Q之间（含点B与点Q）最高点与最低点的纵坐标之差为，若，直接写出d的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、二次函数的最值的知识点．
根据顶点式设二次函数的解析式为，结合点，求得a即可；
利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，则N的横坐标为，纵坐标为，利用平行可得，得到即可求得最值；
由（1）知，，根据点P的横坐标为，点Q的横坐标为m，且，可得出点Q始终在点B的右侧，点P始终在点B的左侧．然后分情况讨论求出d的取值范围．
【小问1详解】
解：根据抛物线的顶点为，
设二次函数的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
则；
【小问2详解】
设直线的解析式为，
过点，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，则N的横坐标为，纵坐标为，
∵轴，
∴，
解得
当时，有最大值，最大值为．
【小问3详解】
由（1）知，，
∵点P的横坐标为，点Q的横坐标为m，且
∴，
∵，
∴点Q始终在点B的右侧，点P始终在点B的左侧．
∴在点B和点P之间，B为最低点，P为最高点．
此时最高点的纵坐标为：，
∴，
当Q在A点右侧时，B点关于抛物线对称轴的对称点为，
而，
这时在点B与点Q之间，B为最高点，A为最低点，
∴，
当点Q在A与B之间时，则这时B为最高点，Q为最低点，
这时：，
此时Q点的纵坐标为：，
∴，
∴当时，
，
当时，，
当时，，
当时，d随m的增大而减小，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
在时，d随m的增大而减小，
∴，
综上：．年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
94
a
40.9
八年级
90
b
92
29.7