2024-2025学年北师版七年级（初一）数学下册期末考试模拟卷01

这是一份2024-2025学年北师版七年级（初一）数学下册期末考试模拟卷01，共25页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，如图，下列条件中，不能判定的是，有两类正方形、，其边长分别为、等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版七年级数学下册
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共30分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列美丽的图案中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000032毫克，将0.000032用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是3的倍数B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数
C．367人中有两人的生日相同D．一名射击运动员每次射击的命中环数
5．已知，，（ ）
A．10B．20C．40D．50
6．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AD=BCB．AC=BDC．OD=OCD．∠ABD=∠BAC
7．如图，小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（ ）
A．4B．4或12
C．4或16D．5或12
10．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29B．25C．18D．24
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______．
12．已知是一个完全平方式，则 ．
13．如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为 ．
14．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．

15．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
16．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
18．（8分）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称．
(1)的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使．
19．（8分）在一个不透明的口袋中装有个红球，个白球，这个球除颜色外其他完全相同
(1)从口袋中随机摸出个球，请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件；
(2)若从口袋中随机摸出个球，试求摸到红球的概率；
(3)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个．
20．（8分）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
21．（8分）如图，已知平分，点在线段上，于点，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
22．（10分）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
(2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ．
(3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为．
(4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远?
23．（10分）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
(1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________；
(2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）；
①1；②25；③36；④84.
(3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论．
24．（12分）如图，已知中，，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段上由点C向A运动．
(1)①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以的运动速度从B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在上相遇？
2024-2025学年七年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版七年级数学下册
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共30分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列美丽的图案中，是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念即可解答．
【详解】解:观察图形可知C是轴对称图形．
故选C．
【点睛】轴对称图形的要寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，熟练掌握是解题的关键.
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、整式的乘法及合并同类项法则逐一判断即可求解．
【详解】解：A、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式，故本选项计算正确，符合题意；
D、原式，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、整式的乘法及合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
3．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000032毫克，将0.000032用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题根据科学记数法的表示即可得出答案．
【详解】．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确判断小数位是关键．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．买一张电影票，座位号是3的倍数B．掷一枚骰子，掷出点数是奇数
C．367人中有两人的生日相同D．一名射击运动员每次射击的命中环数
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件与必然事件的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
【详解】解：A、买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚骰子，掷出点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
C、367人中有两人的生日相同，是必然事件，符合题意；
D、一名射击运动员每次射击的命中环数，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
5．已知，，（ ）
A．10B．20C．40D．50
【答案】B
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方公式即可解答．
【详解】解：，，
,
,
,
,
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，灵活逆用积的乘方和幂的乘方是解答本题的关键．
6．如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AD=BCB．AC=BDC．OD=OCD．∠ABD=∠BAC
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可．
【详解】由题意可知，在△ADO和△BCO中，已经有：∠D=∠C，∠AOD=∠BOC，结合各选项中添加的条件可知：
A选项中，当添加AD=BC后，结合已有条件，可由“AAS”证得△ADO≌△BCO，不符合题意；
B选项中，当添加AC=BD后，结合已有条件，不能证明△ADO≌△BCO，符合题意；
C选项中，当添加OD=OC后，结合已有条件，可由“ASA”证得△ADO≌△BCO，不符合题意；
D选项中，当添加∠ABD=∠BAC后，结合已有条件，可先证得△ABD≌△BAC，从而得到AD=BC，再由“AAS”可证得△ADO≌△BCO，不符合题意；
故选B．
7．如图，小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式和三角形的三边关系，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．根据三角形三边关系找到符合条件的情况数目即可得到答案．
【详解】解：小明有两根长度为，的木棒，他想钉一个三角形木框，桌上有长度不同的5根木棒供他选择，能组成三角形的木棒有：，共2根，
∴从桌上随机抽取一根木棒，则小明能钉一个三角形木框的概率为．
故选：B
8．如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．平行线的判定定理：判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【详解】A．，，不符合题意；
B．，，不符合题意；
C．，不能判断，符合题意；
D． ，∠2＝∠5，∴∠4＋∠2＝180°，，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
9．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（ ）
A．4B．4或12C．4或16D．5或12
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．根据图象求出和，再分析当点在上运动时，当点在上运动时的的高为4，据此求出的值即可．
【详解】解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
10．有两类正方形、，其边长分别为、（），现将放在的内部得图，将、并列放置后构造新的正方形得图，图和图中阴影部分的面积分别为和．若将三个正方形和两个正方形如图摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29B．25C．18D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】解：设正方形，的边长各为，，
得图1中阴影部分的面积为：，
解得：或（舍去），
图2中阴影部分的面积为，
可得：，
解得：或（舍去）；
图3阴影部分的面积为：，
；
故选：A．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______．
【答案】
【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
12．已知是一个完全平方式，则 ．
【答案】或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
13．如果多项式的计算结果中不含项，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的无关项问题，掌握无关项的系数就是其系数为零成为解题的关键．
先运用多项式乘多项式的运算法则计算，然后让的系数为零，据此列出关于k的方程求解即可．
【详解】解：
，
∵该计算结果中不含项，
∴，解得．
故答案为：．
14．如图是小颖同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
【答案】
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式．
先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解．
【详解】沿翻折到的位置，
．
将沿翻折到的位置，
，
．
，
．
故答案为：．
16．小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km．
【答案】0.64
【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程．
本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义．
【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为．
由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，
∴，
，
又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，
，
，
∴小星到达甲地时小红好跑了，
此时小红离终点的路程为．
故答案为：0.64
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）
（2），
【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键
（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）根据单项式乘多项式、完全平方公式将原式展开，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，原式．
18．（8分）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称．
(1)的面积为________；
(2)请在如图所示的网格中作出对称轴；
(3)请在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用割补法求解即可；
（2）在如图所示的网格中作出对称轴即可；
（3）在线段的上方找一点（不与点重合），画出，使即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：如图，直线即为所求作；
（3）解：如图，即为所求作．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，画对称轴，三角形全等的判定，画出直线、射线、线段等知识点，熟练掌握轴对称的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
19．（8分）在一个不透明的口袋中装有个红球，个白球，这个球除颜色外其他完全相同
(1)从口袋中随机摸出个球，请写出在这一过程中的一个必然事件和一个不可能事件；
(2)若从口袋中随机摸出个球，试求摸到红球的概率；
(3)若再往不透明的口袋中装入若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出个球．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，求口袋中黑球大约有多少个．
【答案】(1)必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球；不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球（答案不唯一）；
(2)；
(3)个．
【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．随机事件可能发生也可能不发生的事件；必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是不会发生的事件．
根据必然事件和不可能事件的定义写出一个必然事件和一个可能事件即可；
口袋中有个白球和个红球，从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种，所以随机摸出个红球的概率是；
通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，说明口袋中红球的数量占小球总数的，设口袋中黑球约有个，可以列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
【详解】（1）解：必然事件：从口袋中随机摸出个球，至少有个是红球；
不可能事件：从口袋中随机摸出个球，都是白球；
（2）解：从口袋中随机摸出一个球共有种等可能的情况，其中是红球的情况有种，
随机摸出个红球的概率是；
（3）解：设口袋中黑球约有个，
根据题意可得：，
解得：，
口袋中黑球大约有个．
20．（8分）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论；
（2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．（8分）如图，已知平分，点在线段上，于点，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直定义，角的运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）先证明，则，进而得出，推出，即可求证；
（2）易得，则，利用平角的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
22．（10分）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
(1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
(2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ．
(3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为．
(4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远?
【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度
(2)0.6
(3)
(4)小乐与燃放烟花所在地大约相距
【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提．
（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
（3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式；
（4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
（2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高，
故答案为：0.6；
（3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，，
故答案为：；
（4）当时，，
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距．
23．（10分）毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
(1)图1和图2中的第7个图形，三角形数和正方形数分别为__________；
(2)下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是__________（填序号）；
①1；②25；③36；④84.
(3)仔细观察，三角形数与正方形数有怎样的联系呢？设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，请猜想出之间有何数量关系，并验证这个结论．
【答案】(1)28；49
(2)①，③
(3)，见解析
【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，完全平方公式,正确找出图形的规律是解题的关键．
（1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案；
（2）逐个把数值代入或中且结合为正整数进行计算， 即可作答．
（3）分别找出，，再整理的式子，即可作答．
【详解】（1）解：由题意知第n个三角形数为，
∴把代入，得；
第n个正方形数为；
∴把代入，得；
故答案为：；
（2）解：依题意，结合图形得出1既是三角形数又是正方形数
依题意，，且为正整数，
此时无解；
依题意，
解得，
∴，
∴36既是三角形数又是正方形数；
依题意，，且为正整数，
此时无解；
故答案为：①，③；
（3）解：，过程如下：
∵设第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为，
∴，，
∴，
∵，
∴．
24．（12分）如图，已知中，，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段上由点C向A运动．
(1)①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(2)若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以的运动速度从B同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在上相遇？
【答案】(1)①经过1秒时，理由见解析；②
(2)经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一交停放听应用，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．
（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长．
【详解】（1）解：①经过1秒时，理由如下：
秒，
，
，点为的中点，
．
又，，
，
．
又，
，
∴；
②假设，
，
，
又∵，，则，，
点，点运动的时间秒，
；
（2）解：设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得，
点共运动了．
，
点、点在边上相遇，
经过24秒点与点第一次在边上相遇．
温度
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度V/(m/s)
331
334
337
340
343
346
温度
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度V/(m/s)
331
334
337
340
343
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