新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试卷（解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数在复平面内对应点，位于第四象限.
故选：D.
2. 已知单位向量的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由已知有，.
故.
故选：C.
3. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，共轭复数为.
故选：B
4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理，
所以，，
则.
故选：C
5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】A
【解析】在上的投影向量为.
故选：A
6. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
C. 在中，是为锐角三角形的充要条件
D. 在中，若为任意实数，且，则点的轨迹经过的内心
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误；
对于C：由，即，即，
又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立，故C错误；
对于D：由，可得
又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，
点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角，
故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确.
故选：D
7. 苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点）一直线上位于同侧两点分别测得金融中心顶部点的仰角依次为，，已知的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）
A. 350米B. 400米C. 450米D. 500米
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理得：，
即，
又，所以，
所以金融中心的高度为
.
故选：C
8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为在上，为的中点，
设，
因为，，三点共线，所以，
因为、不共线，
所以，解得，
所以．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理
可得，故A正确；
对B，若，则，，，故B错误；
对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确；
对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确.
故选：ACD
10. ，是复数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是纯虚数
B. 若，则
C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称
D. 若，则
【答案】AC
【解析】设，，
对于选项A：若，则，可得或，
当时，，则；
当时，，不符合题意；
综上所述：，，
所以是纯虚数，故A正确；
对于选项B：例如，则，符合题意，
但，故B错误；
对于选项C：若，则，可得，，
可知在复平面内对应的点的坐标为，即，
且在复平面内对应的点的坐标为，
所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
对于选项D：若，，
则，，满足，
但、的大小无法比较，故D错误．
故选：AC．
11. 已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ）
A. 的面积为定值B. 使得
C. 的取值范围是D. 的取值范围是
【答案】AC
【解析】对A，由可得，即，
可得，因此，在正六边形的对角线上运动，
所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误；
对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值，
当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确；
对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离，
又当时，有最小值，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则的值为________．
【答案】
【解析】由题意若与共线，则，
则，因为为两个不共线的非零向量，故，
解得.
故答案为：
13. 中，若，则__________．
【答案】
【解析】在中，若，则，
则.
故
.
故答案为：
14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】取中点，设的外接圆圆心为，则，
.
又，故
，当且仅当反向共线时取等号.
又，当且仅当时取等号.
即的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为，求的值.
解：（1）设，，，
由题意得，解得或，
又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以.
（2），，，
所以对应的点，，，
从而，，.
16. 已知向量，不共线，点满足，.证明：
（1）若，则点是线段的中点；
（2）是三点共线的充要条件.
解：（1）因为的，所以，即，
所以，所以，所以是线段的中点.
（2）充分性：若，则，所以，
所以，所以，
所以三点共线；
必要性：
因为三点共线，所以存在实数满足：，
所以，即，
所以，所以
综上所述，是三点共线的充要条件.
17. 在平面直角坐标系中，点满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由题意，可知，因为，
故可设点的坐标为，则有，所以，
又为锐角，所以，
因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，
所以，则，
所以；
（2）由（1）知，
，
所以，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，
所以．
18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的面积的取值范围．
解：（1）在中由余弦定理，
故，则，所以.
又为等边三角形，故，且，
故.
（2）不妨设，在中，由余弦定理
，
.
在中，由正弦定理，即，所以.
故
，
又，所以，所以，
即的面积的取值范围为.
19. 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
（1）如图1，求的最小值；
（2）如图2，证明：为定值；
（3）如图3，证明：到的距离为定值．
解：（1）设，，则，，
的周长为，
，
所以，
又，，
，
当，即时，取得最小值，且的最小值为；
（2）设，，，
则，，
，，，
的周长为，
，
，
，
，又，，
，
，
，为定值；
（3），
，
，，
，
又，，
，
，
，
由（2）知，
，
，即到的距离的定值为．