2025年人教A版高中数学必修二 高一下学期 第二次月考试卷（2份，原卷版+解析版）

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1．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．四边形的周长为D．四边形的面积为
【答案】D
【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.
【详解】如图过作，
由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B错误；
还原平面图为下图，
即，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D
2．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径，高，将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，，问题转化为在上找一点，使最短，作关于的对称点，连接，令与交于点，则得的最小值就是为．
故选：A
3．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ）
①的值为0.005；
②估计成绩低于60分的有25人；
③估计这组数据的众数为75；
④估计这组数据的第85百分位数为86．
A．②③B．①③④C．①②④D．①②③
【答案】B
【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.
【详解】对于①，由，得.故①正确；
对于②，估计成绩低于60分的有人.故②错误；
对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确；
对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则，解得：，故④正确.故选：B
4．已知复数z满足，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解.
【详解】由题意可知：，由，可得.
故选：B.
5．如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案.
【详解】解：
.故选：C.
6．在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化，余弦定理得，，进而判断三角形形状即可.
【详解】解：因为，所以，由正弦定理边角互化得，
因为，所以，即，因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以,所以，，故的形状为等边三角形故选：C
7．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案.
【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面，
因为，平面，平面，所以，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，所以且，
所以，又，所以，所以.
故选：C.
8．已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，此时，满足要求，故选：B
二、多选题
9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.
【详解】A选项，圆柱的侧面积为，A选项错误.
B选项，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，B选项错误.
C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.
D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为，球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，D选项正确.故选：CD
10．甘肃省庆阳市南佐遗址是国家重点文物保护单位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遗址，为黄河流域文明起源和发展提供了重要的实物资料，经国家文物局批准，2021年、2022年进行了第三阶段的考古发掘工作.如图，为该次出土的一块三角形瓷器碎片，其一部分破损，为了复原该三角形陶片，现测得如下数据：BC=7cm，AB=5cm，A= ，则：（ ）
A．陶片破损的边AC长为8cmB．陶片面积为cm2
C．陶片外接圆面积cm2D．陶片的形状为直角三角形
【答案】ABC
【分析】利用已知条件，通过正弦定理，余弦定理可分别求出的值，从而可对各选项逐项分析判断即可得出答案.
【详解】由题意可得，BC=7cm，AB=5cm，A= ，在三角形中，,
由正弦定理可得，，即，又为锐角，
，，
，
由正弦定理可得，,即;故A正确；
，陶片外接圆面积为,故C正确；
陶片面积为，故B正确；
，陶片的形状不是直角三角形，故D错误；故选：ABC.
11．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A．
B．若互为共轭复数，则
C．若，则
D．若复数为纯虚数，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算、共轭复数及复数模的运算，纯虚数的定义逐一判断作答.
【详解】对于A，令，则，于是，A正确；
对于B，令，则，，B正确；
对于C，令，显然，
而，，C错误；
对于D，复数为纯虚数，则，解得，D正确.故选：ABD
三、填空题
12．已知，则______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用等角定理计算作答.
【详解】，由等角定理知，与相等或互补，
所以或.故答案为：或
13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为__________（用坐标表示）．
【答案】
【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量上的投影向量.
【详解】向量在向量上的投影向量为
.故答案为：.
14．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．
【答案】12
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.
【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为12.故答案为：12
四、解答题
15.已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．
【答案】(1)(2)2
【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；
（2）根据面积公式求得，再根据等面积得，从而有，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，即，
故.
（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解得，
又因为，所以．
于是,那么．
所以（当且仅当时等号成立）故的最大值为2．
16．（1）已知复数，，若为纯虚数，求的值；
（2）已知复数z满足，求a的值.
【答案】（1）（2）2
【分析】（1）根据复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的四则运算结合模长公式运算求解.
【详解】（1）若为纯虚数，则，解得故的值为；
（2）由题意可得：，
且，因此，解得，故a的值为2.
17．如图，在中，点D为边的中点，．
(1)若，求；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.
（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】（1）在中，点D为边的中点，则，
因此所以．
（2）在中，不共线，因为，则，而在上，即有，，于是，而，
因此，解得，所以的值为.
18．如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上、下底面半径分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取
(1)求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）
(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？
【答案】(1)；；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用球的表面积公式和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解作答.
（2）由（1）的结论，将R=2cm代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积，即可求出需涂料的重量.
【详解】（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，
又四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上、下底面积分别为和，
而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，
正四棱台的高为上、下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，正四棱台的体积，
所以容器盖子的表面积，
体积为（）.
（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）
所以100个这样的盖子约需涂料为（）.
19．如图，在正方体中，是棱的中点．
(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求证：直线平面
(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论.
（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.
（3）利用三棱锥的体积求解作答.
【详解】（1）直线平面，在正方体中，连接交于点，连接，如图，
因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，
因此，又平面，平面，所以平面.
（2）在正方体中，连接，如图，
因为四边形为正方形，则，而平面，平面，
即有，又，平面，则平面，
而平面，因此，同理平面，又平面，
即有，因为，平面，所以平面.
（3）在三棱锥中，，
则的面积，的面积，
设点到平面的距离为，由得：，
于是，所以点到平面的距离为.