2025年人教A版高中数学必修二 高一下期末复习分类训练（常考题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．已知向量＝（2，﹣1），则||＝（ ）
A．B．1C．2D．5
【分析】利用向量的求模公式求解即可．
【解答】解：∵＝（2，﹣1），∴||＝＝，故选：A．
二．向量的减法
2．向量＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法和减法的几何意义进行运算即可．
【解答】解：．故选：B．
三．平面向量数量积的性质及其运算
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝（1﹣λ），λ∈R，则•的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】根据题意分别表示出、，利用平面向量的线性运算与数量积运算、二次函数的性质即可求出最大值．
【解答】解：由题可知||＝1，||＝2，＝0，
则•＝（）•（）＝（）•[+（1﹣λ）]
＝[（1﹣λ）]•[]＝[（1﹣λ）]•[]
＝﹣λ2+4λ﹣3＝﹣（λ﹣2）2+1≤1，则•的最大值为1，故选：C．
4．已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则＝（ ）
A．12B．4C．6D．3
【分析】先用坐标表示三个向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：∵网格纸上小正方形的边长为1，
∴如图，在平面直角坐标系中，，，
∴＝2×（2，﹣1）+（2，2）＝（6，0），∴＝（6，0）•（1，2）＝6．故选：C．
5．如果平面向量＝（2，1），＝（1，3），那么下列结论中正确的是（ ）
A．||＝3||
B．
C．与的夹角为30°
D．在上的投影向量的模为
【分析】求出与的模可判断选项A；根据向量平行的条件可判断选项B；利用向量的夹角公式可判断选项C；由投影的计算公式可判断选项D．
【解答】解：对于A，，，选项A错误；
对于B，由于2×3﹣1×1＝5≠0，故不平行，选项B错误；
对于C，，又，则与的夹角为，选项C错误；对于D，在的投影向量的模为，选项D正确．故选：D．
6．在△ABC中，AB＝3，，，D，E分别是BC边上的三等分点，则的值是（ ）
A．6B．C．8D．
【分析】作图，根据向量三角形法用表示出，结合已知条件得答案．
【解答】解：如图，
＝（）•（）＝（）•（）＝（）•（）
＝（）•（）＝＝．故选：B．
7．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ）
A．[﹣6，0]B．C．D．[﹣7，0]
【分析】根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果．
【解答】解：由题意可知，△BCD为等边三角形，则有∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，
在Rt△ABD中，；
如图以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则有，由于∠DBC＝60°，故可设P点坐标为，且，
所以，
所以，
因为，当时，取得最小值，
当x＝0时，取得最大值为0，所以，故选：C．
四．投影向量
8．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由投影向量的定义直接求解即可．
【解答】解：向量在向量上的投影向量为
•＝•（﹣1，1）＝（﹣，），故选：B．
五．平面向量的基本定理
9．△ABC中，点M为AC上的点，且，若，则λ﹣μ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求出＝+，再与已知对比求出λ，μ即可．
【解答】解：∵，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝+，
∵，∴λ＝，μ＝，∴λ﹣μ＝﹣，故选：B．
10．如图，在等腰△ABC中，已知，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，其中λ，μ∈R，且λ+2μ＝1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的数量积运算和线性运算得到＝（1﹣λ）+（1﹣μ），再利用模的运算整理成关于以μ为变量的二次函数，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：在等腰△ABC中，已知||＝||＝2，∠A＝120，∴•＝2×2×（﹣）＝﹣2，
∵M，N分别是边EF，BC的中点，∴＝（+）＝λ+μ，＝（+），
∴＝﹣＝（1﹣λ）+（1﹣μ），两边平方得，＝（1﹣λ）2+（1﹣μ）2+（1﹣λ）（1﹣μ）•＝λ2+μ2﹣λμ﹣λ﹣μ+1，∵λ+2μ＝1，
∴＝7μ2﹣4μ+1＝7+，∵其中λ，μ∈（0，1），即μ∈（0，），
∴当μ＝时，的最小值为，∴的最小值是，故选：B．
11．在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A．+B．+C．+D．+
【分析】可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可表示出向量．
【解答】解：＝．故选：D．
六．平面向量共线（平行）的坐标表示
12．已知向量．若，则m＝（ ）
A．6B．﹣6C．D．
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解．
【解答】解：∵，∴﹣3×2﹣m＝0，解得m＝﹣6．故选：B．
七．数量积表示两个向量的夹角
13．若||＝1，||＝3，•＝，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵||＝1，||＝3，•＝，
∴＝，∴．故选：C．
14．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设向量与夹角为θ，求出||、||、•的值，计算可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向与夹角为θ，向量，，则||＝2，||＝4，•＝﹣4，故csθ＝＝＝﹣，又由0≤θ≤π，则θ＝，故选：D．
八．数量积判断两个平面向量的垂直关系
15．已知向量＝（1，2），＝（﹣2，m），若⊥，则m＝（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可．
【解答】解：因为，故1×（﹣2）+2m＝0，故m＝1．故选：A．
九．正弦定理
16．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，A＝，B＝，则c＝（ ）
A．3B．3C．2D．2
【分析】利用正弦定理求解．
【解答】解：由题意得，所以由，得，故选：B．
17．已知△ABC中，7sin2B+3sin2C＝2sin2A+2sinAsinBsinC，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合正弦定理可得：7b2+3c2＝2a2+2bcsinA，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，化为：2（sinA﹣2csA）＝＝≥2＝2，进一步得到sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，可得sin（A﹣θ）＝1．得到A＝θ++2kπ，k∈N*．求出sin（A+），再由诱导公式得答案．
【解答】解：7sin2B+3sin2C＝2sin2A+2sinAsinBsinC，由正弦定理可得：7b2+3c2＝2a2+2bcsinA，
∴a2＝，又a2＝b2+c2﹣2bccsA，∴＝b2+c2﹣2bccsA，
化为：2（sinA﹣2csA）＝＝≥2＝2，当且仅当b＝c时取等号．
即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ＝2，sinθ＝，csθ＝．
即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）＝1．
∴A﹣θ＝+2kπ，即A＝θ++2kπ，k∈N*．∴sin（A+）＝sin（θ+++2kπ）＝cs（θ+）
＝（csθ﹣sinθ）＝×（﹣）＝﹣．
∴cs（A−）＝cs（−A）＝sin（A+）＝﹣．故选：B．
18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．
【解答】解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，
则：csA＝＝＝，由于：0＜A＜π，故：A＝，由于：sinBsinC＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选：C．
19．在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用正弦定理可求得sinB的值，利用大边对大角可求B为锐角，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解csB的值．
【解答】解：因为在△ABC中，BC＝15，AC＝10，A＝30°，所以由正弦定理，可得＝，可得sinB＝，因为AC＜BC，所以B＜A，B为锐角，则csB＝＝．故选：D．
一十．余弦定理
20．△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由已知直接利用余弦定理求解．
【解答】解：在△ABC中，由a＝1，c＝2，B＝60°，得＝3，
则b＝．故选：D．
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C等于 45° ．
【分析】先由余弦定理求得a2+b2﹣c2＝2abcsC，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得csC和sinC的关系求得C．
【解答】解：由余弦定理可知csC＝∴a2+b2﹣c2＝2abcsC
∵S＝absinC＝（a2+b2﹣c2）＝abcsC∴sinC＝csC∵0＜C＜π∴C＝45°故答案为：45°
一十一．三角形中的几何计算
22．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（ ）
A．5nmileB．C．10nmileD．
【分析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，由此能求出这艘船的速度．
【解答】解：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10（海里/小时）．故选：C．
一十二．解三角形
23．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
【分析】根据正弦定理可得，即可求解．
【解答】解：由题意可知，∠C＝45°，∠A＝60°，AB＝30海里，由正弦定理可得，解得海里．故选：B．
24．在某次骑行活动中，小李沿一条水平的公路向北偏北15°方向骑行．当骑行到某处时，他看见某地标建筑恰好在其正西方向，距其100米的地方．继续骑行2分钟后，他看见该地标建筑在其西南方向，则小李骑行的速度是（ ）
A．50米/分钟B．100米/分钟
C．米/分钟D．米/分钟
【分析】由正弦定理可得，可得AC，可求速度．
【解答】解：根据题意作出图形，可得AB＝100，∠B＝45°，∠C＝30°，
在△ABC中，由正弦定理可得，即＝，解得AC＝100，
所以小李骑行的速度是＝米/分钟．故选：C．
25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝30，b＝25，A＝42°，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解
【分析】利用正弦定理得sinB＝sinA，进而结合A，进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，由正弦定理有＝，sinB＝，sinB＝sinA，sin30°＜sinA＜sin45°，
＜sinA＜，＜sinA＜，∴＜sinB＜，∵a＞b，∴A＞B，B只能为锐角的一个值，所以△ABC只有一个解．故选：C．
26．已知轮船A在灯塔B的北偏东45°方向上，轮船C在灯塔B的南偏西15°方向上，且轮船A，C与灯塔B之间的距离分别是10千米和10千米，则轮船A，C之间的距离是（ ）
A．10千米B．10千米C．10千米D．10千米
【分析】根据题意，将给的条件转化为三角形中的边角关系，然后利用余弦定理列出关于AC的方程求解即可．
【解答】解：由题意可知AB＝10千米，千米，∠ABC＝150°，由余弦定理可得：
，
则千米．故选：D．
27．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【分析】根据题意，确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．
【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°．
在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin30°＝10海里．故选：A．
28．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．mB．mC．mD．m
【分析】先求得AC＝120，在△ABC中利用正弦定理即可求解．
【解答】解：由题可得∠ACB＝30°，所以，则AC＝120，
在△ABC中，∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∠ABC＝105°，
，
由正弦定理可得，即，解得．故选：D．
29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，b＝2，求角B；
（2）设∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若△ABC面积为，求AD长的最大值．
【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度B．
（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出AD最值．
【解答】解：（1）∵，∴正弦定理可得：，
∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，又A∈（0，π），∴，
∵，b＝2，∴在△ABC中，由正弦定理得：
，∵b＜a⇔B＜A，∴；
（2）∵，AD是的角平分线，
而S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴，
即（b+c）AD＝bc，∴，∵b＞0，c＞0，，且bc＝4，
∴AD＝，当且仅当b＝c＝2取等，∴AD最大值为1．
一十三．虚数单位i、复数
30．i2022＝（ ）
A．1B．﹣1C．﹣iD．i
【分析】根据i的高次幂的规律计算即可．
【解答】解：由i2022＝i2＝﹣1，故选：B．
一十四．复数的代数表示法及其几何意义
31．在复平面内，复数i（3+i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵i（3+i）＝﹣1+3i，∴z在复平面中对应的点（﹣1，3）在第二象限，故选：B．
32．已知复数z满足z+4i＝6+3i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先化简出复数z，然后根据复数与复平面内对应点的关系即可求解．
【解答】解：因为z+4i＝6+3i，所以z＝6﹣i，则复数z在复平面内对应的点（6，﹣1）在第四象限，
故选：D．
一十五．复数的运算
33．已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为﹣i
C．复数z的虚部为i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【分析】根据已知条件，先对z化简，即可依次求解．
【解答】解：z（2﹣i）＝1，
则＝，对于A，复数z的模为，
对于B，，故B错误，对于C，复数z的虚部为，故C错误，
对于D，复数z在复平面内对应的点（）在第一象限，故D正确．故选：D．
34．i是虚数单位，计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：．故选：A．
35．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，﹣2），则z＝（ ）
A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标是（1，﹣2），∴z＝1﹣2i．故选：D．
一十六．共轭复数
36．复数z＝i3﹣1（i是虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵i3＝﹣i，∴z＝i3﹣1＝﹣1﹣i，∴，其对应点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．
一十七．复数的模
37．已知复数z满足＝1+2i（其中i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．3B．2C．2D．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵＝1+2i，∴z＝（1+2i）（1﹣i）＝3+i，∴．故选：D．
38．复数z满足i•z＝﹣1+i，则|z|＝（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵i•z＝﹣1+i，∴＝，∴．故选：B．
39．已知复数z＝1+3i，那么||＝（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据复数的运算性质计算即可．
【解答】解：∵z＝1+3i，∴||＝||＝||＝＝，故选：A．
40．复数z＝1﹣2i（其中i为虚数单位），则|z+3i|＝（ ）
A．B．2C．D．5
【分析】利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：复数z＝1﹣2i（其中i为虚数单位），则|z+3i|＝|1+i|＝＝．故选：A．
一十八．棱柱、棱锥、棱台的体积
41．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为9cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）（参考数据：≈2.45，π≈3.14）
A．20cm3B．22cm3C．26cm3D．30cm3
【分析】蛋黄近似看成一个棱长为9cm的正四面体ABCD的内切球，正四面体为ABCD，设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，由四面体的体积为V＝Sr，求得四面体ABCD的内切球半径r＝，即可求解．
【解答】解：蛋黄近似看成一个棱长为9cm的正四面体ABCD的内切球，正四面体为ABCD，设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，
∴四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V＝Sr∴四面体ABCD的内切球半径r＝，
∵棱长为9的正四面体的表面积S＝4×＝81，
棱长为9的正四面体的高h＝＝3，
棱长为9的正四面体的体积V＝＝，可得r＝＝，
包裹的蛋黄的最大体积为＝．故选：C．
42．如图，一个底面半径为2a的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积．
【解答】解：作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，设内接圆柱的高为h，而BC＝2a，BD＝r＝a，因为内接圆柱的体积为，即，则，
由于AB∥ED，故△CAB∽△CED，则，即，故，
所以圆锥体积为，故选：B．
一十九．斜二测法画直观图
43．如图，△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O'为坐标原点，顶点A'、B'均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O'B'的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意，设O'B'的长度为t，用t表示SO′A′B′的值，由原图与直观图的面积关系可得关于t的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设O'B'的长度为t，又由A′的坐标为（﹣6，0），则O′A′＝6，
故SO′A′B′＝×O′A′×O′B′×sin135°＝，又由原图△AOB的面积为12，
则有12×＝，解可得t＝2；故选：B．
44．如图，正方形O'A'B'C'是水平放置的四边形OABC的斜二测直观图，A'B'＝3，则四边形OABC的面积是（ ）
A．B．C．18D．9
【分析】根据已知中的直观图，算出直观图的面积，结合S原图＝2S直观图，可得答案．
【解答】解：∵S原图＝2S直观图，S直观图＝3×3＝9，∴S原图＝＝，故选：A．
二十．异面直线的判定
45．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线CD与直线GH异面B．直线CD与直线EF共面
C．直线AB与直线EF异面D．直线GH与直线EF共面
【分析】先将正方体复原，再判断异面或共面即可．
【解答】解：如图，点C与点G重合，故A错误；
∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴CD∥EF，∴CD与EF是共面直线，故B正确；
∵AB∩EF＝B，∴AB与EF相交，故C错误；
∵EF，GH不在一个平面内，且EF与GH既不平行也不相交，∴EF，GH是异面直线，故D错误．
故选：B．
二十一．空间中直线与平面之间的位置关系
46．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α
【分析】利用空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断选项的正误即可．
【解答】解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，
对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β，也可能相交，所以A不正确；
对于B，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n也可能异面，所以B不正确；
对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α有可能n⊂α，所以C不正确；
对于D，m∥n，n⊥α⇒m⊥α，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确．故选：D．
47．已知l，b，c为空间中三条不同的直线，α为空间中一个平面，若b，c⊂α，l⊥b，l⊥c，则l与α的关系是（ ）
A．l⊥αB．l∥αC．l在α内D．不确定
【分析】若b，c⊂α，l⊥b，l⊥c，当b与c相交时，有l⊥α；当b∥c时，l∥α或l在α内．
【解答】解：若b，c⊂α，l⊥b，l⊥c，当b与c相交时，l⊥α，故A正确；
若b，c⊂α，l⊥b，l⊥c，当b∥c时，l∥α或l在α内，故BC正确；故选：D．
48．已知a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
C．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
【分析】对于A，b∥α或b⊂α；对于B，b∥α或b⊂α，或b与α相交；对于C，a与b相交、平行或异面；对于D，由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α．
【解答】解：对于A，若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A错误；
对于B，若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，或b与α相交，故B错误；
对于C，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若a⊥α，a∥b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正确．故选：D．
49．已知α、β表示两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，m⊂α，n⊂β⇒m⊥nB．α⊥β，m⊂α⇒m⊥β
C．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nD．α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α
【分析】利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断ABC选项的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m、n的位置关系不确定，A错；
对于B选项，若α⊥β，m⊂α，则m与β的位置关系不确定，B错；
对于C选项，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m、n平行或异面，C错．
对于D选项，设α⋂β＝l，过直线l上的点A在平面α内作n⊥l，如下图所示：
因为α⊥β，α⋂β＝l，n⊂α，n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，则m∥n，又因为m⊄α，n⊂α，所以，m∥α，D对；
故选：D．
50．已知直线a，b，平面α，β，则下列命题中正确的是（ ）
A．α⊥β，a⊂α，则a⊥β
B．α∥β，a∥α，则a∥β
C．a∥β，b⊂β，则a∥b
D．a与b互为异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β
【分析】根据空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解．
【解答】解：对于A，α⊥β，a⊂α，则只有当直线a与平面α，β的交线垂直时，才有a⊥β，故A错误；
对于B，α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故B错误；对于C，a∥β，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；
对于D，a与b互为异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，由线面平行的性质及面面平行的判定得α∥β，故D正确．故选：D．
二十二．二面角的平面角及求法
51．在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC．
（1）证明：PA⊥平面ABC；
（2）若D为PC的中点，且，AB＝BC，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．
【分析】（1）过点B作BO⊥AC于O，由平面PAC⊥平面ABC，推出BO⊥平面PAC，故BO⊥PA；由BC⊥平面PAB，知BC⊥PA；再由线面垂直的判定定理即可得证；
（2）易证BO⊥AC，DO⊥平面ABC，即DO⊥BO，DO⊥AO，于是以O为原点，以，，所在方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，写出A、B、C、D的坐标，根据法向量的性质求得平面ABD、平面BCD的法向量和，由cs＜，＞＝即可得解．
【解答】（1）证明：过点B作BO⊥AC于O，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PA．
∵BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA．
又∵BC∩BO＝B，BC、BO⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC．
（2）解：∵AB＝BC，BO⊥AC，∴O为BC的中点，
又∵D为PC的中点，∴DO∥PA，
由（1）知，PA⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，DO⊥AO，
∴以O为原点，以，，所在方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．
设，则AC＝2，
∴O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，2），
∴＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，2），
设平面ABD的法向量为＝（x，y，z），则
令z＝1，则x＝2，y＝2，∴＝（2，2，1）．
同理可得，平面BCD的法向量为＝（﹣2，2，1），∴cs＜，＞＝＝＝，
由图可知，二面角A﹣BD﹣C的平面角是钝角，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．
二十三．互斥事件与对立事件
52．袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（ ）
①A与B是互斥但不对立事件
②B与C是对立事件
③A与C是互斥但不对立事件
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据集合之间的关系，判断事件之间的关系．
【解答】解：由题意可知：样本空间Ω中基本点有＝15个，A＝{（1，3），（1，5），（3，5）}，
B＝{（2，4），（2，6），（4，6），（1，3），（1，5），（3，5）}，
C＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，
①A⊆B，A与B不是互斥事件，①错误；
②B∩C＝∅，B∪C＝Ω，∴B与C是对立事件，②正确；
③A∩C＝∅，A∪C≠Ω，∴A与C是互斥但不对立事件，③正确．故选：C．
二十四．古典概型及其概率计算公式
53．甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3+2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答．
【解答】解：设事件M为“他们的座位正好相邻”，甲乙二人买到同一排A，B，C，D，F5个座位中的两个形成的样本空间为Ω，则Ω＝{AB，AC，AD，AF，BC，BD，BF，CD，CF，DF}，共包含10个样本点，
其中事件M＝{AB，BC，DF}，包含3个样本点，则有，所以他们的座位正好相邻的概率为．
故选：D．
二十五．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
54．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题没被破解的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解．
【解答】解：设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，
，故，所以，
即谜题没被破解的概率为．故选：A．
二十六．分层抽样方法
55．某工厂生产甲、乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件．为检验产品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为（ ）
A．20B．30C．40D．60
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：从甲种型号的产品中抽取的产品数量为．故选：C．
56．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（ ）
A．3B．2C．5D．9
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】解：根据分层抽样的定义可得：＝，解得n＝9．故选：D．
二十七．收集数据的方法
57．下列调查方式最合适的是（ ）
A．为了调查某批次汽车的抗撞击能力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生每周体育锻炼的时间，采用普查的方式
C．为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查的方式
D．对载人飞船“神舟十四号”零部件的检查，采用抽样调查的方式
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义，逐一判断即可．
【解答】解：调查某批次汽车的抗撞击能力，有破坏性，故用抽查方式，故A错误；
了解全国中学生每周体育锻炼的时间，工作量大，得用抽查方式，故B错误；
为了调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，工作量大，用抽查方式，故C正确；
对载人航天器“神舟十四号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故D错误．故选：C．
二十八．极差、方差与标准差
58．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c≠0，则这两组样本数据的（ ）
A．平均数相同B．标准差相同C．中位数相同D．众数相同
【分析】根据样本数据的平均数、众数和中位数和标准差的定义，判断即可．
【解答】解：由题意知，样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则新样本数据y1，y2，…，yn的平均数为+c，平均数不同；样本数据x1，x2，…，xn的标准差为s，则新样本数据y1，y2，…，yn的标准差为s，标准差相同；样本数据x1，x2，…，xn的中位数为M，则新样本数据y1，y2，…，yn的中位数为M+c，中位数不同；样本数据x1，x2，…，xn的众数为A，则新样本数据y1，y2，…，yn的众数为A+c，众数不同．
故选：B．
二十九．百分位数
59．小红同学统计了她妈妈最近6次的手机通话时间（单位：分钟），得到的数据分别为12，5，7，11，15，30，则这组数据的60%分位数是（ ）
A．12B．11.5C．11D．7
【分析】根据百分位数的定义，计算求解即可．
【解答】解：因为6×60%＝3.6，把这组数据从小到大排列为：5，7，11，12，15，30；所以这组数据的60%分位数是第4个数，为12．故选：A．
60．已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（ ）
A．8.5B．8C．7.5D．7
【分析】将数据从小到大排列，计算10×40%＝4，这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，由此计算可得选项．
【解答】解：因为从小到大排列为4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10个数据，10×40%＝4，
所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即，故选：C．