2025年人教A版高中数学必修二 高一下期中复习分类训练（常考题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．已知i为虚数单位，（1﹣i）z＝2，则复平面上z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知复数z＝，则z的共轭复数是（ ）
A．1﹣iB．1+iC．iD．﹣i
3．已知△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c等于（ ）
A．1：1：B．2：2：C．1：1：2D．1：1：4
4．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若||＝||，则＝B．若||＞||，则＞
C．若，则∥D．若∥，则
5．已知平面向量，不共线，＝4+6，＝﹣+3，＝+3，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
6．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若复数z＝，则|z﹣i|＝（ ）
A．2B．C．4D．5
8．设z＝﹣3﹣2i，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（ ）
A．B．C．D．8
11．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图（图中虚线分别与x'轴，y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（ ）
A．8B．16C．32D．64
12．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目．首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用、城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光．如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C点的高度，小王在场馆内的A，B两点测得C的仰角分别为45，30，AB＝60（单位：m），且∠AOB＝30°，则大跳台最高高度OC＝（ ）
A．45mB．C．60mD．
13．已知向量＝（3，1），＝（1，3），且（+）⊥（﹣λ），则λ的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
14．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为（ ）
A．4cm2B．4cm2C．8cm2D．8cm2
15．已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体为（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台
16．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设＝，＝，以向量，为基底，则向量＝（ ）
A．+B．+C．+D．+
17．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•+SB•+SC•＝．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足+2+3＝3+2+，则＝（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC＝（ ）
A．B．C．D．
19．在△ABC中，，则角C的度数为（ ）
A．135°B．45°C．45°或135°D．120°
20．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A．18B．24C．36D．48
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c＝2，且2asinCcsB＝asinA﹣bsinB+bsinC，点O满足＝，cs∠CAO＝，则△ABC的面积为（ ）
A．B．3C．5D．
22．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
（多选）23．已知复数z的共轭复数为，若iz＝1+i，则（ ）
A．z的实部是1B．z的虚部是﹣i
C．D．|z|＝2
（多选）24．已知复数z1＝2﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2﹣i|＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．P1点的坐标为（2，﹣2）B．＝2+2i
C．|z2﹣z1|的最大值为+1D．|z2﹣z1|的最小值为2
（多选）25．下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．|z|＝B．z﹣z2＝1+i
C．z的共轭复数为﹣1+iD．z的虚部为1
（多选）26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）27．已知，是单位向量，且+＝（1，﹣1），则（ ）
A．||＝2B．与垂直
C．与的夹角为D．||＝1
（多选）28．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BD1
B．A1P的最小值为
C．A1P∥平面ACD1
D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[，]
（多选）29．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥侧面积为
（多选）30．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若tanA+tanB+tanC＜0，则△ABC为钝角三角形
D．若a＝bsinC+ccsB，则
（多选）31．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ）
A．在方向上的投影为0
B．
C．
D．
（多选）32．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面
三．填空题
33．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为 ．
34．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，B＝45°，C＝75°，则b＝ ．
35．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sinA＝sinC，则csA＝ ．
36．若复数z＝（m+2）+（m2﹣9）i（m∈R）是正实数，则实数m的值为 ．
37．i是虚数单位，复数＝ ．
38．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为 ．
39．已知向量与的夹角为，则|5|＝ ．
40．若||＝1，||＝2，与的夹角为60°，若（3+5）⊥（m﹣），则m的值为 ．
41．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．
42．小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向 上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 km．
43．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，且sin∠ABD：sin∠ADB：sin∠BCD＝2：3：4，若|AC|2＝λ|BC|•|CD|，则实数λ的最小值为 ．
44．在△ABC中，若面积，则∠A＝ ．
45．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是 ．
46．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，＝||，则•的值是 ．
四．解答题
47．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数k的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
48．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝1，b＝2，．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
49．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB，若不存在请说明理由；若存在给出证明．
50．已知向量，，在同一平面上，且＝（﹣2，1）．
（1）若∥，且||＝25，求向量的坐标；
（2）若＝（3，2），且k﹣与+2垂直，求k的值．
51．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥AD；
（Ⅱ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
52．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形ABCD休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，．
（1）求氢能源环保电动步道AC的长；
（2）若_____；求花卉种植区域总面积．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
53．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求C；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
54．已知||＝4，||＝8，与夹角是120°．
（1）求的值及||的值；
（2）当k为何值时，？
55．杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2km，DE＝8km．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cs∠DBE＝．
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道BAE最长（即BA+AE最大），最长值为多少？
56．设两个非零向量与不共线．
（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k+和+k共线．
57．在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
58．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
59．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
60．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB＝θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
（1）求（结果用θ表示）；
（2）若θ＝60°
①求的取值范围；
②设（0＜t＜1），记＝f（t），求函数f（t）的值域．