苏教版八年级数学暑假第02讲探索三角形全等的条件练习(学生版+解析)

这是一份苏教版八年级数学暑假第02讲探索三角形全等的条件练习(学生版+解析)，共45页。

1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理.
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【基础知识】
一．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
二．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
三．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
四．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【考点剖析】
一．全等三角形的判定（共5小题）
1．（真题•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 后，可以判定△ABC≌△DEF．
2．（真题•宜兴市期末）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
3．（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
4．（真题•苏州期末）如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
5．（真题•连云港期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边
二．直角三角形全等的判定（共4小题）
6．（真题•姑苏区期末）下列说法中正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
②同旁内角互补；
③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；
④（x﹣2）0＝1；
⑤有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；
⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（真题•郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
8．（真题•高淳区期中）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
9．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
三．全等三角形的判定与性质（共8小题）
10．（真题•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155°B．125°C．135°D．145°
11．（真题•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
12．（真题•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ）
A．a+b﹣cB．b+c﹣aC．a+c﹣bD．a﹣b
13．（真题•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝4cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若AE＝1cm，则EF＝ cm．
14．（真题•滨海县期末）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 ．
15．（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
16．（真题•淮安区期末）如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．
17．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．
四．全等三角形的应用（共4小题）
18．（真题•武城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
19．（真题•沛县期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为 cm．
20．（2019秋•邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段 的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
21．（真题•陈仓区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏无锡·八年级期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等
2．（2021·江苏南京·八年级期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
3．（2020·江苏八年级月考）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与△ODF全等（ ）
A．DE=DFB．OE=OFC．∠ODE=∠ODFD．∠AED=∠BFD
5．（2021·江苏八年级期末）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BADB．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBAD．CB＝DA
6．（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2021·江苏八年级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．
8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．
9．（2021·江苏南京·八年级期末）如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．
10．（2021·江苏）如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．
11．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，已知，平分，且于点D，则________．
12．（2019·江苏八年级月考）如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
13．（2019·江苏八年级月考）在△ABC和△DEF，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有__________组
14．（2019·江苏八年级月考）如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
三、解答题
15．（2020·宜兴市树人中学八年级月考）已知和位置如图所示，，，．
（1）试说明：；
（2）试说明：．
16．（2021·江苏八年级期中）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．
17．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图①，平分，可得．
（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；
（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）
18．（2019·江苏八年级月考）如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
20．（2019·江苏八年级月考）在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______ 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
第02讲 探索三角形全等的条件
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理.
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【基础知识】
一．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
二．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
三．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
四．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【考点剖析】
一．全等三角形的判定（共5小题）
1．（真题•无锡期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加条件 BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF 后，可以判定△ABC≌△DEF．
【分析】先根据平行线的性质得到∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴当添加BC＝EF（或BF＝EC）时，根据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE（或AC＝DF）时，根据“AAS”可判定△ABC≌△DEF；
综上所述，当添加条件BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF后，可以判定△ABC≌△DEF．
故答案为：BC＝EF或BF＝EC或AB＝DE或AC＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
2．（真题•宜兴市期末）如图，AC＝AD，∠DAC＝∠EAB，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是 AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D） ．（只需写出一个条件即可）
【分析】先证明∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，则根据全等三角形的判定方法可添加条件．
【解答】解：∵∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC+BAD＝∠EAB+∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD，
∵AC＝AD，
∴当添加AB＝AE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠B＝∠E时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；
当添加∠C＝∠D时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED，
∴要使△ABC≌△AED，应添加的条件是AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
故答案为：AB＝AE（或∠B＝∠E或∠C＝∠D）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
3．（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
4．（真题•苏州期末）如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
，
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．
5．（真题•连云港期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边
【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
，
则△ABC≌△ADC（ASA）．
∴BC＝CD．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二．直角三角形全等的判定（共4小题）
6．（真题•姑苏区期末）下列说法中正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
②同旁内角互补；
③（a﹣3b）2＝a2﹣9b2；
④（x﹣2）0＝1；
⑤有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；
⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】（1）根据平行线的定义解答；
（2）根据平行线的性质解答；
（3）根据完全平方公式解答；
（4）根据零次幂的意义解答；
（5）根据全等三角形的判定解答；
（6）根据垂线公理解答．
【解答】解：根据平行线的定义①正确；
②错，两直线平行，同旁内角互补；
③错，（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2；
④错，当x﹣2≠0时，（x﹣2）0＝1；
⑤正确，有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；
⑥正确，根经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：D．
【点评】本题是一个概念判断题，根据概念定义可以判断．
7．（真题•郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HLB．ASAC．SASD．SSS
【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键．
8．（真题•高淳区期中）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 AB＝DE ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．
【解答】解：补充条件：AB＝DE．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
故答案为：AB＝DE．
【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
9．（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（答案不唯一） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC＝∠DEF＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠DFE＝∠BCA，
∴添加AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），
故答案为：AB＝ED（答案不唯一）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
三．全等三角形的判定与性质（共8小题）
10．（真题•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155°B．125°C．135°D．145°
【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．
【解答】解：在△ACD和△AEB中，
，
∴△ACD≌△AEB（AAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠CDE＝55°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ABE＝∠ADC＝125°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（真题•河东区期末）如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
【分析】由FC∥AB得，∠DAE＝∠FCE，再利用AAS证明△DAE≌△FCE，得AD＝CF，从而解决问题．
【解答】解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明△DAE≌△FCE是解题的关键．
12．（真题•桐柏县期末）如图，已知AB⊥CD，AB＝CD，E、F是AD上的两个点，CE⊥AD，BF⊥AD，若AD＝a，BF＝b，CE＝c，则EF的长为（ ）
A．a+b﹣cB．b+c﹣aC．a+c﹣bD．a﹣b
【分析】由题意可证△ABF≌△CDE（AAS），可得BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，可求EF的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，且AB＝CD，∠AFB＝∠CED，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE＝b，CE＝AF＝c，
∵AE＝AD﹣DE＝a﹣b，
∴EF＝AF﹣AE＝c﹣（a﹣b）＝c﹣a+b，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
13．（真题•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝4cm，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若AE＝1cm，则EF＝ 5 cm．
【分析】由CD⊥AB，EF⊥AC就可以得出∠FEC＝∠ADC＝90°，就有∠A＝∠F，就可以得出△ABC≌△FCE，就有EF＝AC而求出结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠A＝∠ACD+∠F＝90°，
∴∠A＝∠F，
∵BC＝EC＝4cm，
在△ABC和△FCE中，
，
∴△ABC≌△FCE（AAS），
∴AC＝FE，
∵AC＝AE+EC，
∴FE＝AE+EC，
∵EC＝4cm，AE＝1cm，
∴FE＝4+1＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
14．（真题•滨海县期末）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 ．
【分析】标注字母，根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“角角边”字母△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝DF，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，由正方形性质可得，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵BE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠AEB＝90°，∠DFA＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF＝1，
在Rt△ABE中，AB，
即正方形的边长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，利用三角形全等，把长度为1、2的边转化为一个直角三角形的两直角边是解题的关键．
15．（2022•南通模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，且∠BAE＝∠CAD．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度数．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AD⊥BD，AE⊥EC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝140°，
∴∠OBC＝∠OBC＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．（真题•淮安区期末）如图，已知AB＝CB，AD＝CD．求证：∠A＝∠C．
【分析】连接BD，利用边边边证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：连接BD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠A＝∠C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，此题主要利用边边边判定三角形全等．
17．（真题•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
求证：∠ABD＝∠ACE．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得结论．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
四．全等三角形的应用（共4小题）
18．（真题•武城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．
A．①B．②C．③D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
19．（真题•沛县期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为 1 cm．
【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝6cm，
∵EF＝8cm，
∴圆柱形容器的壁厚是（8﹣6）＝1（cm），
故答案为：1．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
20．（2019秋•邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段 DE 的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；
（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．
【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．
21．（真题•陈仓区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？
（2）请说明方案可行的理由．
【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【解答】解：（1）甲同学的方案可行；
（2）甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在△ABD和△CBD中，
只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏无锡·八年级期末）下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．有两条边分别相等B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等D．有一直角边和斜边上的高分别相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
2．（2021·江苏南京·八年级期末）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列条件能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8
C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝8
【答案】C
【分析】显然题中使用ASA证明三角形全等，，需要保证，可以根据三角形内角和定理确定∠F．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝50°，∠A＝∠D＝60°，AB＝DE＝8，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠D＝70°，
故选C．
【点睛】这道题考查的是全等三角形的对应边和对应角分别相等．清楚三角形全等判定的含义是解题的关键．
3．（2020·江苏八年级月考）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案．
【详解】解：需要补充的条件是BF=CE，
∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
4．（2020·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，OC平分∠AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，则添加下列哪个条件不能使△ODE与△ODF全等（ ）
A．DE=DFB．OE=OFC．∠ODE=∠ODFD．∠AED=∠BFD
【答案】A
【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，而OP是公共边，
A：添加DE=DF符合“边边角”，不能判定△ODE≌ODF；
B：添加OE=OF，可以利用“SAS”判定△ODE≌ODF；
C：添加∠ODE=∠ODF，可以利用“ASA”判定△ODE≌ODF；
D：∠AED=∠BFD，可知∠OED=∠OFD，可以利用“AAS”判定△ODE≌ODF；
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
5．（2021·江苏八年级期末）如图，已知AC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC＝∠BADB．∠C＝∠D＝90°C．∠CAB＝∠DBAD．CB＝DA
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】在△ABC与△BAD中，AC＝BD，AB＝BA，
A、SSA无法判断三角形全等，故本选项符合题意；
B、根据HL即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
C、根据SAS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
D、根据SSS即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，关键在于熟练灵活的使用各个判定方法；
6．（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
二、填空题
7．（2021·江苏八年级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．
【答案】（-7，3）
【分析】先作辅助线、，通过导角证明，再证明， 得到AD的长度(A的纵坐标长度)、DC长度(加上OC得到A横坐标长度)，根据A点所在象限的符号，确定A点坐标．
【详解】如图，过点A作 于点D，过点B作 于点E
点C的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，5)
OC=2，OE=1，BE=5



在 和 中，




A点的坐标是(-7，3) ．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明(在两个三角形中，如果有两组对应角，和其中一组对应角的对边分别相等，那么这两个三角形全等) ．
8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝_____．
【答案】3
【分析】先利用线段和差求EF＝BE﹣BF＝4，根据全等三角形的性质BC=EF，再结合线段和差求出FC 可得答案．
【详解】解：∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4-1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段和差,解题的关键是根据全等三角形的性质得出BC=EF．
9．（2021·江苏南京·八年级期末）如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝_____°．
【答案】125
【分析】先证明，得到，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和，最后与等边三角形内角相加就得到结果．
【详解】解：是等边三角形，
，
在与中，
故答案为125．
【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．解题的关键在于熟练掌握这些相关知识点．
10．（2021·江苏）如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．
【答案】60
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=30°，
∵∠AMF是△MFC的一个外角，
∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，已知，平分，且于点D，则________．
【答案】12
【分析】如图，延长BD交AC于点E，根据已知证得，则得，由三角形的面积公式得，，即可证明，从而可以解答本题．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵平分，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
即．
∵，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，明确题意，利用三角形全等证明是解答此题的关键．
12．（2019·江苏八年级月考）如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
【答案】平行且相等
【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，
∴AO=OC，BO=OD，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD，∠A=∠C，
∴AB//CD,
即AB与CD的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
13．（2019·江苏八年级月考）在△ABC和△DEF，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有__________组
【答案】3
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL结合选项进行判定．
【详解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，可根据SSS判定△ABC≌△DEF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，不能判定△ABC≌△DEF；
能使△ABC≌△DEF的条件共有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．（2019·江苏八年级月考）如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
【答案】2＜AD＜4
【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．
三、解答题
15．（2020·宜兴市树人中学八年级月考）已知和位置如图所示，，，．
（1）试说明：；
（2）试说明：．
【分析】（1）根据题意利用SAS可证明△ABD≌△ACE，即可证明结论；
（2）根据△ABD≌△ACE可知∠B=∠C，然后由等量代换得出∠BAN=∠CAM，从而利用ASA可证明△ABN≌△ACM，从而利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）∵，
∴，
∵△ADB≌△AEC，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
16．（2021·江苏八年级期中）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．
【分析】根据平行的性质可得∠B＝∠C，再结合已知条件运用“ASA”证得△ABF≌△DCE，最后运用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB//CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意证得△ABF≌△DCE是解答本题的关键．
17．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图①，平分，可得．
（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；
（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）2a
【分析】（1）证明△DFC≌△DEB，可得DB=DC；
（2）连接AD，作DF⊥AC于F，证明△DFC≌△DEB，得到DF=DE，CF=BE，再证明Rt△ADF≌Rt△ADE，得到AF=AE，再根据线段的和差可得AB=AC．
【详解】解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠ABD=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DB=DC；
（2）连接AD，作DF⊥AC于F，如图3所示，
∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
∴∠B=45°，
∴∠FCD=∠B，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∴AB-AC=2BE=2a．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
18．（2019·江苏八年级月考）如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．
【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）成立．
证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
【点睛】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；
（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB．
【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．
20．（2019·江苏八年级月考）在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______ 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；（2）①α+β=180°，证明见解析；②α+β=180°或α=β，证明见解析．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β=180°，
连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．