数学必修 第二册平面的基本性质课后练习题

这是一份数学必修 第二册平面的基本性质课后练习题，共7页。
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l．(用符号填空)
7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
8．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，Peq \(∈,\s\up0(/))l且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于________．
9.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，F为棱CC1的三等分点，画出由D1，E，F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线．(保留作图痕迹)
10.已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝ eq \f(1,3) BC，CH＝ eq \f(1,3) DC.求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
[B 能力提升]
11.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，Ceq \(∈,\s\up0(/))l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
12．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．l⊄α，A∈l⇒Aeq \(∈,\s\up0(/))α
C．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A
D．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝ eq \f(1,3) DD1，NB＝ eq \f(1,3) BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
[C 拓展探究]
15．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
(1)求证：直线MN⊂平面PQR；
(2)求证：点K在直线MN上．
参考答案
[A 基础达标]
1．解析：选C．不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C．
2．解析：选B．①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3．解析：选C．选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
4．解析：选B．由题意知GH⊂平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．
5．解析：选D．在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D．
6．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
7．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
8．解析：
如图所示，MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ.又R∈l，所以R∈β.
又P∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR.
答案：直线PR
9.解：如图，直线IL即为所求.
10.证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFeq \(\s\up3(∥),\s\d3(＝)) eq \f(1,2) BD.因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝ eq \f(1,3) BC，CH＝ eq \f(1,3) DC.
所以GHeq \(\s\up3(∥),\s\d3(＝)) eq \f(1,3) BD.
所以EF∥GH.
所以E，F，H，G四点共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．
设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.
又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
[B 能力提升]
11.解析：选D．根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．
12．解析：选ACD．对于A中，由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据平面的基本性质，可得l⊂α，所以是正确的；对于B中，由l⊄α，A∈l，根据直线与平面的位置关系，则Aeq \(∈,\s\up0(/))α或A∈α，所以不正确；对于C中，由A∈α，A∈l，l⊄α，根据直线与平面的位置关系，则l∩α＝A，所以正确；对于D中，由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据平面的基本性质，可得α∩β＝AB，所以是正确的．故选ACD．
13．解析：选C．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝ eq \f(1,3) DD1，NB＝ eq \f(1,3) BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C．
14.证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，
所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．
因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
[C 拓展探究]
15．证明：(1)因为PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ，所以M∈平面PQR.
因为RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ，所以N∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR.
(2)因为M∈直线CB，CB⊂平面BCD，所以M∈平面BCD.
由(1)知，M∈平面PQR，
所以M在平面PQR与平面BCD的交线上．
同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，
所以M，N，K三点共线，所以点K在直线MN上．