数学基本图形位置关系第2课时课后作业题

这是一份数学基本图形位置关系第2课时课后作业题，共10页。
1．在空间中，下列命题正确的是( )
①平行于同一条直线的两条直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；
④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④ B．①④
C．① D．①②③④
2．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的( )
A．垂心 B．外心
C．内心 D．重心
3．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．B1D1
C．A1D D．A1A
5．如图，下列4个正方体中，点A，B，M，N，Q分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线AB⊥平面MNQ的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
7.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条．
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．
9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．
(1)求证：PM⊥平面ABC；
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
10.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，BC＝CD＝ eq \f(1,2) AD.
(1)求证：CD⊥PD；
(2)求证：BD⊥平面PAB；
(3)在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[B 能力提升]
11．(多选)已知α是一个平面，m，n是两条直线，有下列四个结论，正确的是( )
A．如果m∥α，m∥n，那么n∥α
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m⊥α
D．如果m⊥α，m∥n，那么n⊥α
12．(多选)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C为圆上异于点A，B的任意一点，则下列关系中正确的是( )
A．PA⊥BC B．AC⊥PB
C．BC⊥平面PAC D．PC⊥PB
13．(多选)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿着SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系，其中成立的为( )
A．SG⊥平面EFG B．SE⊥平面EFG
C．GF⊥SE D．EF⊥平面SEG
[C 拓展探究]
14．刘徽注《九章算术•商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图一解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．
在如图二所示由正方体得到的堑堵ABC­A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点、A1B中点、A1C中点时，分别形成的四面体P­ABC中，鳖臑有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
15．如图，在三棱锥P­ABC中，棱PA垂直于平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥PC；
(2)若PA＝AB＝2，直线PC与平面ABC所成的角的正切值为 eq \r(2) ，求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．
参考答案
[A 基础达标]
1．答案：B
2．解析：选B．因为PO⊥α，PA＝PB＝PC，可由射影定理得OA＝OB＝OC.
即点O是△ABC 的外心．
3．解析：选C．如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝ eq \f(\r(3),2) a，DE＝ eq \f(1,2) a．所以tan ∠ADE＝ eq \r(3) ，所以∠ADE＝60°.
4．解析：选B．如图，直线CE垂直于直线B1D1.
因为AC1为正方体，所以A1B1C1D1为正方形，连接B1D1，又因为E为A1C1的中点，所以E∈B1D1.所以B1D1⊥C1E，CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，又CC1∩C1E＝C1，
所以B1D1⊥平面CC1E，而CE⊂平面CC1E，所以直线CE垂直于直线B1D1；故选B．
5．解析：选B．对于题图1，如图，连接BC.因为BC⊥MN，AC⊥MN，BC，AC⊂平面ABC，BC∩AC＝C，所以MN⊥平面ABC，从而MN⊥AB.同理可得NQ⊥AB.因为MN，NQ⊂平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于题图2，因为NQ⊥AB，MN⊥AB，MN，NQ⊂平面MNQ，MN∩NQ＝N，所以AB⊥平面MNQ.
对于题图3，因为AB与MQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．
对于题图4，因为AB与NQ不垂直，所以AB与平面MNQ不垂直．故满足直线AB⊥平面MNQ的个数为2.故选B．
6.解析： eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC)) ⇒
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A)) ⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
答案：4
7.解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．
答案：4
8.解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，
则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a