专题01 高中数学一轮复习-集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版）

这是一份专题01 高中数学一轮复习-集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版），共25页。
【考点1 集合的概念】
【考点2 集合的基本关系】
【考点3 集合的基本运算】
【考点4 充分条件与必要条件的判段】
【考点5 充分条件与必要条件的判段】
【考点6 全称量词与存在量词】
知识点1 集合与元素
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法．
知识点2 集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
记忆：如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个
知识点3 集合的基本运算
知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点5 全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
知识点6 全称量词命题和存在量词命题
【考点1 集合的含义和表示】
【典例1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合A=0,1,2，则集合B=x,y∣x≤y,x∈A,y∈A中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】根据题意，采用列举法表示集合B即可求解.
【详解】由题，可得B=0,0,0,1,0,2,1,1,1,2,2,2，
所以集合B含有6个元素.
故选：C.
【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合A=n∈N∗|n2≥2n，则集合A的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．无穷多个
【答案】C
【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.
【详解】由2n≥n2(n∈N∗)，可得n=1,2,4，
所以集合A的元素个数为3个.
故选：C
【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知集合A=x∣2|x|≤4,x∈Z，则A的元素数量是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性得|x|≤2，即可求解.
【详解】由于22=4，故|x|≤2，又x∈Z，故A={−2,−1,0,1,2}，有5个元素，
故选：D.
【考点2 集合的基本关系】
【典例2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A=0,1，B=0,a+1,a−1，若A⊆B，则a=（ ）
A．2B．0C．0或2D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B=0,1,−1，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B=0,3,1，满足题意，
故选：C.
【变式2-1】（2025·河北·二模）已知集合A={0,2}，B=xm−xm，因为A⊆B，则m0，N=xx2>a，若N⊆M，则实数a的取值范围为（ ）
A．1,2B．1,+∞C．4,+∞D．4,+∞
【答案】D
【分析】解一元二次方程求出集合M，再由N⊆M得到a>0，即可求出N，再得到不等式组，解得即可.
【详解】由x2−x−2>0，即x+1x−2>0，解得x>2或xa且N⊆M，
若a0，
则N={x|xa}，所以−a≤−1a≥2，解得a≥4，
即实数a的取值范围为4,+∞.
故选：D
【变式2-4】（2025·重庆·模拟预测）设集合A=x∣lg1.5(x−1)>0，B=x∣2x0，则x−1>1，解得x>2，
所以A=x∣lg1.5(x−1)>0=x∣x>2，
由2x