专题01 高中数学一轮复习-集合与常用逻辑用语（十大题型七大易错题）（题型专练+易错精练）（解析版）

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【题型1】 集合的含义和表示
1．（2025届江西省华大联盟高三联考（三模）三模数学试题）已知集合A=0,a,a2,B=a−1,3a−2,a∈R，则A∪B中的元素个数至少为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】先根据A求出a≠0且a≠1，再根据a2−a+1=a−122+34>0可得a−1与0,a,a2均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由A中元素的互异性可得a≠0,a≠a2，故a≠0且a≠1，
而a2−a+1=a−122+34>0，故当a≠0且a≠1时，a−1与0,a,a2均互异，
故A∪B中至少有4元素，取a=2，此时A=0,2,4,B=1,4，
此时A∪B有4个元素，故A∪B中的元素个数至少为4个，
故选：C.
2．（2020·新疆喀什·二模）已知集合A={1,2}，B={2,4}，则C={xy∣x∈A,y∈B}的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出集合C即可.
【详解】集合A={1,2},B={2,4}，则C={xy∣x∈A,y∈B}={2,4,8}，
所以集合C的元素个数为3个.
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知{a,b}⊆{−1,0,1,2,3,4},(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，则(a,b)可能的取值的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】D
【分析】根据题意，分a=−1，a=0和a=1，三种情况讨论，结合x2+y2≤4，得到(a,b)得情况，即可得到答案.
【详解】当a=−1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，可得b∈{0,1}，所以(a,b)为(−1,0)或(−1,1)；当a=0时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}，可得b∈{−1,1,2}，
所以(a,b)为(0,−1)或(0,1)或(0,2)；
当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+y2≤4}知，b∈{−1,0}，
所以(a,b)为(1,−1)或(1,0)；
当a=2，则b=0，所以(a,b)为(2,0)综上，共有8种取值．
故选：D．
4．（2025·河南·模拟预测）已知集合A=0,1，B=0,a+1,a−1，若A⊆B，则a=（ ）
A．2B．0C．0或2D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B=0,1,−1，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B=0,3,1，满足题意，
故选：C.
5．多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M，则xy∈M；②若x,y∈M，则x+y∈M.下列说法中正确的有（ ）.
A．−1∈M.B．2025∈M.
C．若x,y∈M，则xy∈M.D．若x,y∈M，则x−y∈M.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
【详解】对于A，若−1∈M，令x=y=−1，则xy=1∈M,x+y=−2∈M，令x=−1,y=1，则xy=−1∈M,x+y=0∈M，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0，矛盾，所以−1∉M，故A错误，
对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质①，得xx=1∈M，再根据性质②，得1+1=2∈M，进而1+2=3∈M,⋯,2024∈M,2025∈M，故B正确，
对于C，因为1∈M,x∈M，所以1x∈M，因为y∈M,1x∈M，所以y1x=xy∈M，故C正确，
对于D，若x=1,y=2，则x−y=−1∉M，故D错误，
故选：BC.
6．多选题（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，y∈M，都有x+y∈M，且x−y∈M，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合M=xx=3k,k∈Z为闭集合
D．若集合M1，M2为闭集合，则M1∪M2也为闭集合
【答案】ABD
【详解】取x=1，y=2，则x−y=−1∉N，故A错误；取x=2，y=2，则x−y=0，0不是无理数，故B错误；设x=3k1k1∈Z，y=3k2k2∈Z，则x+y=3k1+k2∈M，x−y=3k1−k2∈M，故C正确；取M1=xx=3k,k∈Z，M2=xx=2k,k∈Z，由C选项可知M1是闭集合，同理可证M2也是闭集合，则M1∪M2为被2整除或被3整除的全体整数集，取x=2，y=3，则x+y=5，5不能被2或3整除，即5∉M1∪M2，故D错误.
【题型2】 集合的基本关系
1．（2025·江苏南京·一模）设集合A=x∣x2−4≤0,B=x∣x+a≤0.若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,2B．−∞,2C．−∞,−2D．−∞,−2
【答案】D
【分析】直接解不等式确定集合A,B，再根据集合的基本关系确定参数范围即可.
【详解】由x2−4≤0可得A=−2,2，由x+a≤0可得B=−∞,−a，
又A⊆B，所以2≤−a，即a≤−2，故D正确.
故选：D
2．（2025高三·全国·专题练习）已知A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，B⊆A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m