2024-2025学年江西省景德镇市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省景德镇市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为
A．B．C．或D．或
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．下列不等式变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．在直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是
A．B．C．D．
5．如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
6．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到△，以下结论：①，②，③，④，正确的有
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．不等式的解集为 ．
8．用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设 ．
9．若点坐标为，将点向右平移3个单位长度后落在轴上，则 ．
10．如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 ．
11．如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．
12．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）用不等式表示“的4倍与5的差大于7”；
（2）若关于的不等式可化为，求的取值范围．
14．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
15．如图，在△中，，，．将△沿着点到点的方向平移到△的位置，与交于点，．
（1）求平移的距离；
（2）求阴影部分的面积．
16．如图，在中，，，垂直平分线段分别交，于点，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，作的平分线；
（2）如图（2），点是的中点，作的平分线．
17．如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与一次函数l2：y＝kx+b的图象交于点C（m，2），一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1）．
（1）求点C的坐标和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＞2x﹣2的解集．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（1）若，求证：是的角平分线．
（2）若是的角平分线，求证：．
19．已知关于、的方程组的解是非负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
20．如图，在四边形中，点是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求△的面积．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．某公交公司有，型两种客车，它们的载客量和租金如表：
希望中学根据实际情况，计划租用，型客车共9辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含的式子填写下表：
（2）若要保证租车费用不超过3400元，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，若八年级师生共有360人，写出最省钱的租车方案．
22．对于任意实数，，定义一种关于的运算：．例如：．
（1）若，求的取值范围；
（2）若关于的不等式组的解集为满足，求的值；
（3）若，求的取值范围．
六、（本大题共12分）
23．问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学马老师提出了如下问题：在△中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图：延长到，使得；再连接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学马老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系；
（3）问题解决：如图3，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为
A．B．C．或D．或
解：等腰三角形的顶角为，
它的底角度数为，
故选：．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
解：是轴对称图形，但它不是中心对称图形，不符合题意，
不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，但它不是中心对称图形，不符合题意，
是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：．
3．下列不等式变形正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
解：、，
两边减去得：，故本选项不符合题意；
、，
（当时，，故本选项不符合题意；
、，，
，故本选项符合题意；
、，
当时，；
当时，；故本选项不符合题意；
故选：．
4．在直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是
A．B．C．D．
解：过点作轴，过点作轴，垂足分别为、，
点的坐标为，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为．
故选：．
5．如果不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：不等式组的解集为，
不等式组恰有4个整数解，
这4个整数解为，，0，1，
．
故选：．
6．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到△，以下结论：①，②，③，④，正确的有
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
解：①绕点逆时针旋转得到△，
．故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
．故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直．故③不正确；
④在中，
，，
．
．故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．不等式的解集为 ．
解：原不等式移项得：，
解得：．
故答案为：．
8．用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设 ．
解：用反证法证明“”时，应先假设．
故答案为：．
9．若点坐标为，将点向右平移3个单位长度后落在轴上，则 5 ．
解：由题意可得：，
解得．
故答案为：5．
10．如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 2 ．
解：绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为2．
11．如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．
解：由条件可知不等式的解集为．
故答案为：．
12．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是 ，， ．
解：如图1中，当，时，满足条件．
如图2中，当，时，可得，
．
如图3中，当，时，，
，
综上所述，满足条件的的值为，，．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）用不等式表示“的4倍与5的差大于7”；
（2）若关于的不等式可化为，求的取值范围．
解：（1）用不等式表示“的4倍与5的差大于7为：．
（2）关于的不等式可化为，
，
解得：．
14．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
．
15．如图，在△中，，，．将△沿着点到点的方向平移到△的位置，与交于点，．
（1）求平移的距离；
（2）求阴影部分的面积．
解：（1）由题意可得：，，，
，
，，
，
平移的距离为；
（2），，
，，
，
，
，即，
．
16．如图，在中，，，垂直平分线段分别交，于点，，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图（1）中，作的平分线；
（2）如图（2），点是的中点，作的平分线．
解：（1）如图（1），即为所求，
；
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
平分；
（2）如图（2），即为所求，
连接、相交于一点，连接交于，交于，连接交于，即为所求，
、分别为、的中点，
、是的中线，
等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线相互重合，三角形的三条中线、三条角平分线均相交于一点，
即为的平分线．
17．如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与一次函数l2：y＝kx+b的图象交于点C（m，2），一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1）．
（1）求点C的坐标和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＞2x﹣2的解集．
解：（1）由条件可知2m﹣2＝2，
解得：m＝2，
∴C（2，2），
∵一次函数y＝2x﹣2的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点C（m，2），y＝kx+b的图象经过点B（3，1），
∴，
解得：，
∴一次函数l2：y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+4．
（2）由图象可知：kx+b＞2x﹣2的解集为：x＜2．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．在中，是的中点，，，垂足分别是，．
（1）若，求证：是的角平分线．
（2）若是的角平分线，求证：．
【解答】证明：（1），，
是直角三角形．
在与中，
，
，
，
又，，
是的角平分线；
（2）是的角平分线，于，于，
，
是边的中线，
，
在和中，
，
，
．
19．已知关于、的方程组的解是非负数．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
解：（1），
，
关于，的方程组的解是非负数，
，
解得：；
（2）由（1）可知：，
，，
．
20．如图，在四边形中，点是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求△的面积．
【解答】（1）证明：，
，即，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（2）解：，，如图，过点作于，
由（1）知，
，
△是等边三角形，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．某公交公司有，型两种客车，它们的载客量和租金如表：
希望中学根据实际情况，计划租用，型客车共9辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含的式子填写下表：
（2）若要保证租车费用不超过3400元，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，若八年级师生共有360人，写出最省钱的租车方案．
解：（1）型车辆，每辆载客30人，每辆租金300元，租用型客车辆，
型车载客为人，租金是元；
故答案为：，；
（2）型车租金为元，型车租金元，租车费用不超过3400元，
，
整理得，，
解得，
的最大值为7．
（3）型车载客量为人，型车载客量为人，八年级师生共有360人，
，
整理得，，
解得，
由（2）可知：，
为整数，
或，
当时，，
当时，，
，
最省钱的租车方案为：型车6辆，型车3辆．
22．对于任意实数，，定义一种关于的运算：．例如：．
（1）若，求的取值范围；
（2）若关于的不等式组的解集为满足，求的值；
（3）若，求的取值范围．
解：（1）根据题意得，，
解得；
（2）根据题意得，，
解得，
关于的不等式组的解集为满足，
，，
，，
；
（3），
，
，
，
，
解得．
六、（本大题共12分）
23．问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学马老师提出了如下问题：在△中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图：延长到，使得；再连接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学马老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系；
（3）问题解决：如图3，，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，，求的值．
解：（1）延长到，使得，如图1，
是边上的中线，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（2）；理由如下：
在四边形中，，如图2，延长，交于点，
，
在△和△中，
，
△△，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；
（3）如图3，延长交的延长线于点，
是的中点，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
，，
．
作交的延长线于点，如图4，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：．
载客量（人辆）
45
30
租金（元辆）
400
300
车辆数（辆
载客量
租金（元
①
②
载客量（人辆）
45
30
租金（元辆）
400
300
车辆数（辆
载客量
租金（元
①
②