江西省景德镇市乐平市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：D．
2. 已知 ，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．
详解】解：∵，
∴故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误
∴选项C符合题意．
故选：C．
3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据旋转变换的性质求出，结合，即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4. 如图，函数和的图像交于点P，根据图像可得不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分．
【详解】解：∵函数和的图像交于点，
∴不等式的解集即为的图像在的图像上方的部分，
∴不等式的解集是，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据图像解不等式是解本题的关键．
5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A. 全等三角形的对应边相等B. 等腰三角形的两底角相等
C. 对顶角相等D. 等边三角形的每个角都等于60°
【答案】C
【解析】
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定与性质，对顶角的定义，等边三角形的判定与性质判断四个逆命题的真假即可．
【详解】解：A、“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形全等”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
B、“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“两底角相等的三角形为等腰三角形”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，
此逆命题为假命题，符合题意；
D、“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题为“每个角都等于的三角形为等边三角形”，
此逆命题为真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
6. 如图，在中，和的平分线相交于点O，交干E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①∠；②当时，；③若，则．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义和角平分线的性质等知识点，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，即可判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用SAS证明可得，利用ASA可证明得，进而可判定②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断③即可解答．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
=
=
=，故①正确；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，

∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
如图所示，作于H，于M，

∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
=
=，
故③正确；
综上，①②③正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在中，，若添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定，解题的关键是掌“等角对等边”，以及三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．
根据得出，结合等边三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：①当时，
∵，
∴，
∴，即是等边三角形；
②当时，
∵，
∴，即是等边三角形；
③当时，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
故答案为：（答案不唯一）
8. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集是______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组解集确定的口诀，结合数轴，确定解集即可.
【详解】根据数轴的意义，得
不等式的解集为；
故答案为.
【点睛】本题考查了不等式组解集，利用数形结合思想，熟练掌握解集的确定要领是解题的关键.
9. 如图中，平分，则的面积是______．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】过点作于点，如图所示，

∵平分，，
∴
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________．
【答案】（-3，4）
【解析】
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
11. 若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的整数解的个数求未知系数问题，涉及一元一次不等式组的解法．
首先确定不等式组非负整数解，然后根据不等式的非负整数解得到一个关于的不等式组，从而求解．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组有三个非负整数解，
∴不等式组三个非负整数解是0，1，2，
∴．
故答案为：．
12. 如图，在中，，为斜边中点，将绕着点逆时针旋转）至，当为等腰三角形时，的值为___________．

【答案】或或
【解析】
【分析】分情况讨论：如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到；当时，如图2，连接，连接并延长，交于点，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到；当时，如图3，延长，交于点，连接，，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到．
【详解】解：如图1，连接，

∵为斜边中点，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
当时，
如图2，连接，连接并延长，交于点，

∵，．
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，延长，交于点，连接，，

∵，为斜边中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴．
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解不等式．，并把它的解集表示在数轴上．

（2）如图，中，，垂直平分，若，求的度数．

【答案】（1）；数轴见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先去括号，然后移项，合并同类项，再将未知数系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，根据垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】解：（1），
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集表示在数轴上，如图所示：

（2）∵中，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解不等式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握运算法则和相关的性质．
14. 仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】试题分析；首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线．（2）由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°．
【详解】
15. 如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AC＝6cm，则BE＝ cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE度数．
【答案】(1) 6；(2) 30°．
【解析】
【分析】（1）由平移性质知△ABC≌△BDE，据此可得BE=AC=6cm；
（2）由△ABC≌△BDE得∠DBE=∠CAB=50°、∠BDE=∠ABC=100°，根据∠CBE=180°-∠ABC-∠DBE可得答案．
【详解】解：（1）∵将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，
∴BE＝AC＝6cm，
故答案为6；
（2）由（1）知△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠CAB＝50°、∠BDE＝∠ABC＝100°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝30°．
【点睛】本题主要考查平移的性质，解题的关键是掌握①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
16. 已知．
（1）用含x的代数式表示y则______；
（2）若y为非负数，则x的取值范围是______；
（3）若，求整数x的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组和不等式，解题的关键是根据题意列出不等式或不等式组．
（1）把移到右边即可；
（2）为非负数，列出关于x的不等式，解不等式即可；
（3）根据，得出，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵为非负数，
∴，
解得：．
故答案为：．
【小问3详解】
解：由题意得：，
解得：，
∴，
又∵是整数，
∴，．
17. 如图，在中，点D在边上，，将线段绕点A逆时针旋转到的位置，使得，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点：
（1）根据，可得，根据旋转的性质可得，根据可证，利用全等三角形的对应边相等即可求出结论．
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，从而可得，利用全等三角形的性质可得，即可．
【小问1详解】
证明：，
．
即，
将线段绕点A旋转到的位置，
．
在与中，
，
；
【小问2详解】
解：，，
．
．
，
．
．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知不等式组．
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程，求代数式的值．
【答案】（1）整数解为0
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的公共部分就是所求的整数解；
（2）把（1）中求得的整数解代入方程，即可得到一个关于a的方程，求得a的值，进而即可求得代数式的值．
【小问1详解】
解：，
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集是，
则不等式组的整数解是0．
【小问2详解】
解：把x＝0代入代数式得3a﹣5a+2＝0，
解得：a＝1，
∴．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长，，求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【小问1详解】
∵，垂直平分，
，
，，
，
，
∵，
；
【小问2详解】
周长，，
，
，
，，
，
，
即，
．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的；
（3）为轴上一动点，当有最小值时，写出点的坐标 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换、勾股定理、利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用轴对称求最短路线得出点位置，再利用待定系数法求得直线的解析式即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图1所示：，即为所求；
【小问2详解】
解：如图2所示：，即为所求；
【小问3详解】
解：如图3所示：点即所求，

∴，而，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得，
点坐标为，
故答案为：．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【答案】（1）原计划租用种客车辆，这次研学去了人
（2）共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算
【解析】
【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
【小问2详解】
解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
【小问3详解】
∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．
22. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键．
（1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论．
【小问1详解】
在中，
，，
，
，
，，．
当时，为等边三角形，
即，
；
当时，为等边三角形；
【小问2详解】
若为直角三角形，
①当时，，
即，
，
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
六、解答题（本大题共12分）
23. 已由在中，，过点引一条射线，是上一点．
【问题解决】
（1）如图1，若，射线在内郃，，求证：，小明的做法是：在上取一点，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程：
【类比探究】
（2）如图2，已知，当射线在内，求的度数．
【变式迁移】
（3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）会变化，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案；
（2）在上取一点，，然后证明，进而得出答案；
（3）在延长线上取一点，使得，同理证明，进而得出答案．
【小问1详解】
证明：如图1，在上取一点，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：在上取一点，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在和中，
∴
∴，
∴；
【小问3详解】
的度数会变化，理由如下：
延长线上取一点，使得
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．