江西省景德镇市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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全卷满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、因为，所以，则此项一定成立，不符合题意；
B、因为，所以，则此项一定成立，不符合题意；
C、因为不能确定的大小关系，所以不一定成立，此项符合题意；
D、因为，所以，则此项一定成立，不符合题意；
故选：C．
2. 下列新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：由题意可得，
A选项不是中心对称图形，不符合题意；
B选项不中心对称图形，不符合题意；
C选项是中心对称图形，符合题意；
D选项不中心对称图形，不符合题意；
故选C；
3. 在平面直角坐标系中，将向左平移3个单位得到，则三个顶点A、B、C到对应三点、、的坐标变化为（ ）
A. 横坐标都加3B. 纵坐标都加3C. 横坐标都减3D. 纵坐标都减3
答案：C
解：∵将向左平移3个单位得到，
∴三个顶点A、B、C到对应三点、、的坐标变化为横坐标都减3，
故选：C．
4. 如图，中，，点O是垂直平分线的交点，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解：∵点是垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
5. 如图，已知是等腰三角形，，，点D是边上的一个动点（不与点B、C重合），与的平分线交于点O，则的大小不可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵，，
∴，
设，
∵与的平分线交于点，
∴，，
∴，
∵点是边上的一个动点（不与点、重合），
∴，
∴，即，
故选：A．
6. 如图，左边的阴影三角形以A、B、C、D、E中任一点为旋转中心，在旋转角为的情况下，正好通过n次旋转得到右边的阴影三角形，则n的值可以是（ ）
A 、2可以，不行B. 、3可以，不行
C. 、2、3都可以D. 、3可以，不行
答案：C
解：将左边的阴影三角形绕点E顺时针旋转右边的阴影三角形，此时．
左边的阴影三角形绕点A逆时针旋转，再将得到的三角形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影三角形，此时．
左边的阴影三角形绕点B顺时针旋转，再将得到的三角形绕点E顺时针旋转，将得到的三角形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影三角形，此时．
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
答案：
解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
8. 不等式的最大整数解是__________．
答案：0
解：，即，
所以这个不等式的最大整数解为0，
故答案为：0．
9. 明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为，为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．则锁链长度的最大值为__________．
图1 图2
答案：##厘米
解：由题意得，当时，长度有最大值，
如图所示，过点A作于D，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于M、N，若MN=1，则BC=__．
答案：6
作AD⊥BC于点D
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°
∴∠B=∠C=(180°−∠A) =30°
∴在直角△BNM中，tanB=
∴
∴
∴AB=2BN=
∴在直角△ABD中，BD=AB⋅csB=×=3
∴BC=2BD=6
故答案为：6
11. 中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则__________．
答案：16
解：过点作，如图：
根据作法得：平分，
，即：，
，
在中，，，，
，
，
的面积为40，
，
解得：，
故答案为：16．
12. 含的直角三角板ABC沿着射线CA方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则__________．
答案：或或
解：设，则，
∵，
∴
I．当点在线段上时，如图1，
①当时，即，
∵，
∴，
解得：，
②当时，
∴，解得：，
II．点在线段延长线上时，如图2，
③当时，即，
∵，
∴，
解得：，
④当时，
∴，，不合题意舍去，
综上所述：等于、、．
故答案为或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解不等式组．
答案：（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
14. 如图，在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，垂足为点E，，求的度数．
答案：
解：将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
15. 如图，是边长为2的等边三角形，将沿射线平移到的位置，连接，求的长．
答案：
解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，
由平移的性质得：也是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则在中，．
16. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
答案：
解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
∵，
∴，
解得．
17. 如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，请仅用无刻度直尺按照下列要求作图，

（1）如图①，作的平分线；
（2）如图②，作边上的高线．
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：如图①，射线即为的平分线．
【小问2详解】
解：如图②，线段即为边上的高线．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，是的角平分线，分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，，，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）5
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴垂直平分．
【小问2详解】
解：∵，，，，
∴，
即，
解得，
∵是的角平分线，，
∴，
则在中，．
19. 2023年12月18日，甘肃临夏积石山发生6.2级地震，位于积石山的田家炳中学在此次地震中受灾严重．各地田家炳中学立即开展了“送温暖，献爱心”活动．我校捐赠一批书籍和实验器材共480套，其中书籍比实验器材多160套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共10辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该校．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
答案：（1）书籍有320套，实验器材有160套
（2）有3种方案：①运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车6辆
【小问1详解】
解：设书籍有套，实验器材有套，
由题意得：，
解得，
答：书籍有320套，实验器材有160套．
【小问2详解】
解：设运输部门安排甲种型号的货车辆，乙种型号的货车辆，
由题意得：，
解得，
因为是正整数，
所以有3种方案：①运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车6辆．
20. 在物理课上，老师为了更好的让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．已知为平面镜，其中点C，点D的坐标分别为，，点处放置一支激光笔，激光笔发射光线对应函数解析式为．
（1）点F为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点F，求所在直线的解析式；
（2）已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵F为平面镜的中点，点C，点D的坐标分别为，，
∴点F的坐标分别为，
将点，代入得：
，解得：，
故所在直线的解析式为，
【小问2详解】
取点关于的对称点，
∵点、点，
∴直线的解析式为，
直线的解析式为，
故b的取值范围为．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图①，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，以点B为旋转中心，将绕点B顺时针方向旋转，得到（点A，O的对应点分别为点，），求：
（1）__________；
（2）求的值；
（3）延伸迁移：如图②，中，，，，点P是三角形内一动点，请直接写出的最小值．
答案：（1）90 （2）
（3）
【小问1详解】
解：∵绕点B顺时针方向旋转，
∴，
∴；
故答案为：90；
【小问2详解】
∵，，，
∴，则，
连接，

∵绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴C、O、、四点共线，
∴在中，，
∴．
【小问3详解】
将绕点顺时针方向旋转，得到，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，
则，当、、、四点共线时取等号，

过点作于，
∵，
∴，
则，，
∴
∴，
∴，
即：的最小值为．
22. 定义新的运算，已知，；
（1）__________，__________；
（2）已知，求a的取值范围；
（3）若关于b的不等式组有三个整数解，求t的取值范围并求此时的最大值．
答案：（1）2；1 （2）
（3）；12
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：，
故答案为：2；1．
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，
解得：．
小问3详解】
依题意得：，
解得：，
关于b的不等式组有三个整数解，
，
解得：，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
六、（本大题1小题，共12分）
23. 实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：
（1）如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
（2）在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
（3）如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系；
（4）如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．
答案：（1）同意，证明见解析；
（2）成立，证明见解析；
（3）
（4）
【小问1详解】
同意，
理由如下：∵在等边三角形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
【小问2详解】
（1）的结论成立，
证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，
在等边，等边中，，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
【小问3详解】
如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，，
在等腰直角，等腰直角中，，，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
【小问4详解】
过点A作，交延长线于点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴