2021-2022学年江苏省南京市第十三中学高二下学期初数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省南京市第十三中学高二下学期初数学试题

一、单选题

1．若公比为的等比数列的前项和为,且成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等比数列{an}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列列式求得a1，再由等比数列的前n项和求解．

【详解】设等比数列{an}的首项为a1，由a2，9，a5成等差数列，且q=2，

得2×9=2a1+16a1，即a1=1．

故选B．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．

2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之积为偶数”，事件为“取到的2个数之和为偶数”，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出事件发生的概率和事件发生的概率，利用条件概率公式代入计算得出答案．

【详解】事件为“取到的2个数之积为偶数”， 事件为“取到的2个数之和为偶数”，

则

故选：B

【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．已知随机变量服从正态分布，则（       ）

A．6 B．11 C．18 D．36

【答案】D

【分析】结合正态分布的知识以及方差的计算公式，计算出.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴，∴.

故选：D

4．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（       ）

A．360 B．180 C．90 D．45

【答案】B

【分析】根据题意，得出二项式的指数的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．

【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，

通项公式为

当，即时为常数，此时

所以展开式的常数项是180

故选：B

5．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球的个数为，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过用完后，将球放回盒中有3个旧球，可知取出的2个球1新1旧，从而可求解答案.

【详解】盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中.

设此时盒中旧乒乓球的个数为，

说明取出的2个球1新1旧，

则.

故选：D.

6．某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【分析】由,根据对称性得出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．

【详解】因为数学成绩，

所以由可得：，

所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：，

所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）

故答案为：9.

【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩的概率分布关于对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解．

7．若是直线上的动点，PA、PB与圆相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（       ）

A． B． C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据对称性及三角形的面积公式将问题转化为求最小，再由勾股定理及点到直线的距离公式可求解.

【详解】由圆，得到圆心，半径，

由题意可得：，，，

∴，

在中，由勾股定理可得：，

当最小时，最小，此时所求的面积也最小，

点是直线：上的动点，

当时，有最小值，，

所求四边形的面积的最小值为8.

故选：D.

8．设随机变量，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由二项分布的概率公式结合已知条件求出，从而可得，进而可求出的值

【详解】解：因为随机变量，

所以，

解得，所以，

则．

故选：B．

二、多选题

9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥

【答案】AD

【分析】根据互斥事件的定义判断D，再根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算即可判断；

【详解】解：因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，，，，故A正确；

，，

，因为，，所以，所以与不是相互独立事件，故B，C不正确．

故选：AD．

10．若，则下列选项正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】令，求出，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项B；令，求出结合值，可判断选项C；利用展开式所有项系数和为，结合值，可判断选项D.

【详解】令，，所以A正确；

五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其他四个因式取2，或两个因式取其他三个因式取2，所以，所以B不正确；

令，则，

所以，所以C不正确；

展开式所有项系数和为，

令，得，

所以，所以D正确.

故选：AD．

11．在次独立重复试验中，每次试验的结果只有，，三种，且，，三个事件之间两两互斥．已知在每一次试验中，事件，发生的概率均为，事件发生的概率为．则（       ）

A．事件发生次数的数学期望为

B．，，三个事件发生次数的数学期望之和为

C．事件，发生次数的方差之比为

D．，，三个事件各发生次的概率为

【答案】ABD

【分析】明确3n次独立重复试验，结果均呈二项分布，利用二项分布的期望为np，方差为进行求解.

【详解】由题意可知，事件，，，所以事件A，，均可看作二项分布，

则对于A，期望值，即A正确；

对于B，期望值之和，即B正确；

对于C，事件的方差，事件的方差，则，即C不正确；

对于D，从次中选择次为事件，则为，从余下的次中选择次为事件，则为，所以各发生次的概率为，即D正确．

故选：ABD

【点睛】对二项分布的定义以及期望、方差的计算要熟练.

12．已知，，，，，则下列结论中一定成立的有（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据正太曲线的性质即可作出判断.

【详解】当时，分布更加集中，故在相同范围内，的相对累积概率越大，

∴，即A正确；

当时，正太曲线形状只与相关，只影响正太曲线的位置，

根据对称性可知，

∴，即C正确，

故选：AC

【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

③参数影响曲线的高矮，参数影响曲线的位置.

三、填空题

13．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是________．

【答案】.

【分析】设“从2号箱中取出的是红球”，“从1号箱中取出的是红球”，求得和，结合概率的加法公式，即可求解.

【详解】设“从2号箱中取出的是红球”，“从1号箱中取出的是红球”，

则，

，

所以

.

故答案为：.

14．我国古代将“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团计划开展“六艺”讲座活动，要求活动当天每艺安排一节，连排6节，且“数”必须排在第3节，“射”和“御”相邻，则不同的安排顺序共有_________.

【答案】36

【分析】元素相邻用“捆绑法”

【详解】解：先把“射”和“御”捆绑在一起看作一个复合元素，排在“数”的前后，有3种排法，

其它任意排，故有种.

故答案为：

15．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.

【答案】

【分析】先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.

【详解】解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.

则.

由条件概率易得，，，

由全概率公式，可得

.

故答案为：

16．如图，高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央，从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉，如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球，那么，小球落入3号容器的概率是______________.

【答案】

【分析】若要小球落入3号容器，则在通过的四层中有两层需要向右，两层向左，根据二项分布公式可求得概率．

【详解】若要小球落入3号容器，则在通过的四层中有两层需要向右，两层向左，根据二项分布公式可求得概率

故答案为： ．

四、解答题

17．有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工零件的次品率为4%，第2，3台加工零件的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，35%，40%.记为“零件为第台机床加工”.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是第3台机床加工的概率.

【答案】(1)0.055

(2)

【分析】（1）利用全概率公式求解；

（2）利用条件概率求解.

【详解】(1)解：令“任取一个零件为次品”，

由题意，且，，两两互斥，

由全概率公式得：

，

.

(2)；

所以取到一个零件是次品是第3台机床加工的概率为.

18．已知数列的前项和.

(1)求证：数列是等差数列.

(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解；

（2）由（1）得 ，将不等式对任意恒成立，转化为，对任意恒成立求解.

【详解】(1)解：当时，，解得，

当时，，

所以，即，

即，

又，

故数列是以2为首项，1为公差的等差数列.

(2)由（1）知，，即，

所以，对任意恒成立，

即，对任意恒成立，

记，故，

所以时，，所以，即，

时，，即随着的增大，递减，

所以的最大值为，

所以，即.

19．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.

（1）当时，

（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.

【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）最小值为.

【分析】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，分别求得的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；

（ii）求得甲答对某道题的概率为，得到，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；

（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，求得， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.

【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，

则，所以.

（ii）随机变量X可取，甲答对某道题的概率为，

则，则，

则随机变量X的分布列为

则.

（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，

其中甲答对某道题的概率为，

答错某道题的概率为

则，，

，，

所以甲答对题数比乙多的概率为

解得，即甲的亲友团助力的概率P的最小值为.

【点睛】方法点拨：记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”， 分别求得，，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.

20．如图，在三棱柱中，和△均是边长为2的等边三角形，点为中点，平面平面．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）理由见解析；（2）．

【解析】（1）证明，通过平面平面，推出平面．

（2）如图，以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面的法向量为，设直线与平面所成角为，利用空间向量的数量积求解即可．

【详解】（1）证明：，且为的中点，

，

又平面平面，且交线为，又平面，

平面；

（2）解：如图，以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系．

由已知可得，0，，，，

，

平面的法向量为，

则有，

所以的一组解为，

设直线与平面所成角为，

则

又，

所以直线与平面所成角的正弦值：．

【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题

21．如图，椭圆的右准线为，为椭圆上的动点，过点作椭圆的切线（与有且只有一个公共点），与直线交于点.当在短轴端点时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若面积为3，求点的坐标.

【答案】(1)；

(2) .

【分析】（1）由的面积为，求得，再由椭圆的右准线为，得到，结合，求得的值，进而求得椭圆的标准方程；

（2）设，设直线的方程为，联立方程组，利用，结合椭圆的方程，得到，得出直线的方程为，利用的面积为3，列出方程，求得，进而求得点点的坐标.

【详解】(1)解：设椭圆的焦距为，

因为当在短轴端点时，的面积为，可得，解得，

又由椭圆的右准线为，可得，即

又因为，所以，解得，或，

当时，，不满足，故舍去，

当时，，满足题意，

所以椭圆的方程为；

(2)设，设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

由，可得，

因为   ①，   所以，即，

所以直线的方程为，

原点到直线的距离，，

所以面积，即   ② ，

由②等式两边平方得： ③，

将③代入①，可得，所以，

所以点的坐标为 .

22．某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．

（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．

附：若，则，．

【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．

【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；

（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.

【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.

由题意可得：，，

，，

随机变量的分布列为

数学期望．

（2）①设该划线分为，由得，

令，则，

由题意，，即，

，，，

，，取．

②由①讨论及参考数据得

，

即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，

，．

由

即

解得，

，，

当时，取得最大值．

【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．