江苏省南京市第十三中学2023~2024学年高二下学期期末考试数学试卷[附解析]

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（时间：120分钟 满分150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（ ）
． ． ． ．
【答案】
【解析】根据交集定义计算即可.由题得，又，故.
故选：.
2.已知，，则（ ）
． ．．．
【答案】
【解析】，，，故.
故选：.
3.函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则（ ）
．．．．
【答案】
【解析】由最小正周期，可得，的图象向右平移个单位长度后为偶函数的图象，故，，故，因为，所以.
故选：.
4.已知，则的值为（ ）
． ． ． ．
【答案】
【解析】.
故选：
5.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）.
． ． ． ．
【答案】
【解析】令，可得，由函数有两个不同的零点，可得函数与的图象有两个交点，作出与的图象，如图所示，由图可得.
故选：.
6.已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（ ）
． ． ． ．
【答案】
【解析】由题意可得，即①，因为，所以②，②代入①可得，因为，，所以.
故选：
7. 已知函数的大致图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
． ．
． ．
【答案】
【解析】由函数的图象可知，其定义域为,图象关于原点对称，且，当时，.
对于，，有，则有，不符合定义域为，故排除；
对于，当时，，，，则有，不符合题意，故排除；
对于，有，故为偶函数，函数图象关于轴对称，不符合题意，故排除；
故选：.
8.已知，，且时， ，则的值为（ ）
． ． ． ．
【答案】
【解析】因为，所以，化简得，根据，解得，因为，所以，利用两角和与差的正弦公式化简得，等式两边同除得，故.
故选：.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
．是递增数列 ．
．当时， ．当或时，取得最大值
【答案】
【解析】当时，，又，所以，则是递减数列，故错误；，故正确；当时，，故正确；因为的对称轴为，开口向下，所以当或时，取得最大值，故正确.
故选：
10.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
．函数的周期为
．函数的图象关于对称
．函数在区间上的最大值为
．直线与 的图象所有交点的横坐标之和为
【答案】
【解析】根据图象可得，得，故正确;
,，则，当时，，所以，，根据可得，即.
当时，，故错误；
当时，，，故正确；
当时，，，又因为，所以，故正确.
故选：
11.已知，，且，则（ ）
．的取值范围是．的取值范围是
．的最小值是 ．的最小值是
【答案】
【详解】利用基本不等式，得到，解出，故错误；
由，，可得，所以，又，所以，故正确；
由，，，得，
则，当且仅当时等号成立，但，取不到等号，故错误；
对于，由可知，，当且仅当时等号成立，故正确.
故选：．
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.计算的值为 .
【答案】
【详解】
因为，
所以.
故答案为.
13.已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意得，，，故，所以即在上恒成立，只需在上恒成立.
令，，易知在为在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即，故只需即可.
故答案为：.
14.已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【详解】设，则，因为，所以，所以在上单调递减. ，即，因为，所以
，所以，，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【详解】
（1）
（2）
16.（本题满分15分）
已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【详解】
（1）设公差为，由题意得：，解得，所以；
（2）因为，所以.
17.（本题满分15分）
已知函数.
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1），（2）
【详解】
（1）
，令，解得，故的单调增区间为，.
（2）当时，，所以，，
故的值域为.
18.（本题满分17分）
已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2） （3）
【解析】
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得；
（2），因为，所以，所以，故的值域为；
（3）因为在上单调递减，所以在上有解即在上有解，
即在上有解，
，当时，，所以，所以，所以，即.
19.（本题满分17分）
已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【详解】
（1）时，，要证，即证，即，
令，，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以，故.
（2），，所以只有一个实数根.
，令，由（1）可知，，均在时取到最小值（实际取不到），故，所以，故.