宁夏六盘山高级中学2023~2024学年高一下册期末考试数学试卷（AB卷）[附解析]

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试卷类型：A、B卷
学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分
A卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知外接圆的周长为，，则（ ）
A 4B. 2C. D.
5. 某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（ ）

A. 该商户这8个月中，收入最高的是7月
B. 该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C. 该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月
D. 该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是
6. 如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ）
A ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A. A与B为互斥事件B. A与B为相互独立事件
C. D.
11. 已知一组正实数样本数据，满足，则则下列说法正确的是（ ）
A. 样本数据的第百分位数为
B. 去掉样本一个数据，样本数据的极差可能不变
C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D. 将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的标准差变为原数据组标准差的2倍
12. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）

A. 存在点使得
B. 若点满足，则动点的轨迹长度为
C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形
D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60°
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 某学校高二年级选择“物化生”、“物化地”和“物化政”组合的同学人数比例依次为5∶2∶3．现采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取n位同学进行项调查研究，若“物化地”组合中选出的同学人数为60人，则________．
14. 已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则______.
15. 甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为______；
16. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________.
四、解答题（每小题10分，共20分）
17. 如图，在棱长为2正方体中，是棱的中点，是与的交点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
18. 已知，，与的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量与共线，求实数λ．
B卷
五、解答题（19、20题每小题12分，21、22题每小题13分，共50分）
19. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰.
20. 计算下列事件的概率：
（1）一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．求“”的概率；
（2）甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中A，B的概率均为，乙击中A，B的概率分别为，．求恰有1个目标被击毁的概率．
21. 如图，在平面四边形中，，，的角平分线与相交于点，且.
（1）求的大小；
（2）求的值.
22. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正切值．