广西五校（玉林第一中学、博白县中学、北流高级中学、陆川中学、容县高级中学）2024~2025学年高一下册4月联考数学试卷[附解析]

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1. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）
A. 1B. 2iC. iD. 2
2. 已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（）
A. 平行B. 异面
C. 相交D. 平行或异面
3. 若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（）
A. B. C. 或D. 或
4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
5. 如图，已知正方体棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（）．

A. B. 6C. D.
6. 在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（）
A. B. 2C. D.
7. 育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2，底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为（）
A. B. C. D. 1
8. 如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（）
A. ，，，四点共面B.
C. ，，三线共点D.
10. 已知向量，夹角为，且，，则（）
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量为
11. 已知中，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（）
A. B. 的面积为
C. D. P在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若为纯虚数，则__________.
13. 在中，内角所对的边分别为，，则______．
14. 已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件.
16. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点．
（1）求证：AC1//平面BDE；
（2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE．
17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cs B＝.
(1)求△ACD面积；
(2)若BC＝，求AB的长．
18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．
（1）求四棱台的表面积；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
19. 在中，是边上靠近的三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.