苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第12讲弧长及扇形的面积(2种题型)(学生版+解析)

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1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
一．弧长的计算（共13小题）
1．（2023•南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （ ）
A．B．πC．2πD．3π
2．（2022秋•常州期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为（ ）
A．4πB．2πC．D．
3．（2023•苏州一模）半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为 cm．（结果保留π）
4．（2023•泗洪县二模）若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为 ．
5．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点C，D在⊙O上直径AB两侧的两点，∠ACD＝60°，AB＝8，则的长为 ．
6．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（ ）
A．4πB．8πC．9πD．18π
7．（2023•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长是1，延长AB到E，以A为圆心，AE为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长为 ．
​
8．（2023•宝应县校级三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为 ．
9．（2023•海陵区一模）如图，⊙O的直径为10，点P是弦AB所对优弧上一动点，连接AP、BP，作AH⊥BP，垂足为H．
（1）若∠P＝45°，求AB的长及的长；
（2）若AB＝5，求点H到AP的距离的最大值．
10．（2022秋•如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．
（1）求证：∠ACB＝∠E；
（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．
11．（2023•建湖县三模）如图，弧AB与∠ACB的一边CB切于点B，与另一边CA交于点A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，则弧AB的长是 ．（结果保留π）．
12．（2023•淮阴区一模）半径为3，圆心角为30°的扇形的弧长为 ．
13．（2023•兴化市一模）75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为 ．
二．扇形面积的计算（共14小题）
14．（2023•天宁区校级一模）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 cm2．
15．（2023•鼓楼区校级三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为 ．
16．（2023•连云港二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为 ．
17．（2023•大丰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是 ．
18．（2022秋•连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（ ）
A．260°B．240°C．140°D．120°
19．（2023•锡山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20
21．（2022秋•苏州期末）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 ．
23．（2023•工业园区校级二模）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 ．
24．（2023•如皋市一模）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．
（1）求CD的长；
（2）计算图中阴影部分的面积．
25．（2022秋•南京期末）如图，用长度均为12m的两根绳子分别围成矩形ABCD和扇形OEF，设AB的长为xm，半径OE为Rm，矩形和扇形的面积分别为S1m2，S2m2．
（1）BC的长为 m，的长为 m；（用含x或R的代数式表示）
（2）求S1，S2的最大值，并比较大小．
26．（2023•清江浦区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
27．（2023•邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是 ．
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A．4B．C．5D．
2．（2023·江苏南通·统考三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（ ）

A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A．B．C．D．6
4．（2023·江苏苏州·统考二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，、两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）．

A．B．C．D．
5．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·江苏南京·校考二模）如图，是⊙的直径，弦于点，若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（ ）

A．B．C．D．
8．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点E．若，，则与长度之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A．B．12C．D．
10．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·江苏淮安·统考二模）已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留）
12．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为___________．
13．（2017秋·江苏南京·九年级统考期中）已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则它的半径为______．
14．（2022·江苏常州·校考二模）已知的对角线，将绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为_____．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______．
16．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为________．
17．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．

18．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．
三、解答题
19．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是______，结论是______（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
20．（2023·江苏·模拟预测）如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．
21．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
22．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)画出向左平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标 ；
(2)画出将绕原点O顺时针旋转90°后的，并写出点C旋转到所经过的路径长为 ．
23．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：

(1)作图：(保留作图的痕迹)
①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；
(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)的外接圆半径为______；内切圆的半径为______；
(2)将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积(结果保留)．
25．（2023·江苏南通·统考一模）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．

(1)求的度数；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
一．选择题（共6小题）
1．（2022•费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022•海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．3C．2D．
3．（2022•上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（ ）
A．B．C．D．5π
5．（2022•蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A．4π﹣4B．4πC．2π﹣4D．2π
6．（2022•达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（ ）
A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．4π﹣3
二．填空题（共8小题）
7．（2022•呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 cm．
8．（2022•南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是 ．
9．（2022•虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2022•莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 （结果保留π）．
11．（2022春•南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 ．
12．（2022•福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是 ．
13．（2022春•沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 ．
14．（2022•九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共6小题）
15．（2022春•长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
16．（2022•费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
17．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
18．（2022春•亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
（3）若，求AD•AB的值．
19．（2021秋•船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．
20．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）