（暑假班-基础班）2025年人教A版高二数学暑假讲义第16讲 圆与圆的位置关系+课后巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点1 圆与圆的位置关系
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．
(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
知识点2 圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理解．
知识点3 圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
知识点4 圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线与圆交点的圆系方程为

4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
1、判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．
2、圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．
3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
4、公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程
考点一：圆与圆位置关系的判断
（一）判断圆与圆的位置关系
例1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
变式1．已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________.
变式2．已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（二）由圆的位置关系求参数
例2．若圆与圆外切，则实数（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
变式1．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点二：与圆相交有关的问题
（一）求两圆的交点坐标
例3．圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.
（二）圆系方程的应用
例4．经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
（三）求两圆公共弦方程
例5．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.
变式1．已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
（四）求两圆公共弦长
例6．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．
考点三：两圆的公切线问题
（一）圆的公切线条数
例7．圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.
变式2．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
圆的公切线方程
例8．已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.
一、单选题
1．圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2．在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内 B．若圆与圆恰有三条公切线，则
C．直线与圆相离 D．圆关于对称
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，圆和外切形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为______．
8．已知圆心在原点的单位圆和圆外切，________．
9．已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为__________.
三、解答题
10．已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
11．已知圆和圆
(1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）
(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值
圆与圆的位置关系 随堂检测
1.圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
2.已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4.已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
5.已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B． C． D．
6.已知圆与圆内切，则的最小值为_______
7.已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
8.已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条
有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
只有2条外公切线
只有1条外公切线
无公切线