2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第2讲 空间向量基本定理

第2讲   空间向量基本定理

新课标要求

了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解。

知识梳理

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

名师导学

知识点1    基底与基向量

【例1-1】有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是   

A.  B.   C.   D.  

【分析】
本题考查空间向量的基本定理，以及共线向量与共面向量，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
根据空间向量的基本定理即可判断的正误，找出反例判断命题错误，即可得到正确选项．
【解答】
解：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．
反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．
，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．
已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．
故选C．

【变式训练1-1】已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是

A.  B.
C.  D.

【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构成空间的另一个基底的条件是不共面，由此逐项判断即可；
【解答】解：因为，
所以，，共面．又因为，
所以，，共面．
不存在，，使得，
所以，，不共面，
故可作为空间的一个基底．故选C.

知识点2    空间向量基本定理及其应用

【例2-1】（龙华区校级期中）如图，在平行六面体中，，分别在面对角线，上且，．记向量，用表示．

【分析】利用空间向量基本定理，即可得出结论．

【解答】解：

【例2-2】如图所示，在平行六面体中，，，，，．

求的长；

求与的夹角的余弦值．

【解析】解  ，

．．
设与的夹角为，设，，，
依题意得
，
．

【变式训练2-1】如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.

【解】　＝＝(－)＝[－(＋)]＝c－a－b.

＝＋＝－＋＝－a＋(－)＝－a＋－.

＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋c＋b.

又∵E，F分别为PB，PC的中点，∴＝＝＝a.

【变式训练2-2】如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．

求
求EG的长．

【答案】解：设，，，
则，，，，，
，，
；

，
，
，即EG的长为．

名师导练

A组-[应知应会]

1.若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是   

A.  B.  C.  D.

【分析】
本题考查空间向量的共面定理的应用问题，属于基础题．
根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．
【解答】
解：由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与、是共面向量，
同理与、是共面向量，
与不能与、构成空间的一个基底，
又与和不共面，
可与、构成空间的一个基底．
故选C．
2.（东城区期末）在四面体中，点在上，且，为中点，则等于　　

A． B． 

C． D．

【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．

【解答】解：在四面体中，点在上，且，为中点，

所以．

故选：．

3．（菏泽期末）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若则　　

A． B．1 C． D．2

【分析】推导出，由此能求出的值．

【解答】解：正方体中，点为上底面的中心，

，

，．

故选：．

4．（济宁期末）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解．

【解答】解：在平行六面体中，为与的交点；

；

故选：．

5．（阳泉期末）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于　　

A． B． 

C． D．

【分析】在四面体中，是的中点，是的中点，可得，．即可得出．

【解答】解：在四面体中，是的中点，是的中点，

则，．

．

故选：．

6．（烟台期末）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 

A.  B.  C.  D.

【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查学生的计算能力，属于较难题．

先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．

【解答】

解：如图，

设，，，棱长均为1，
则，，，
，，

，


，

，
，
异面直线与所成角的余弦值为，

故选A．

7．（多选）（南通期末）设，，是空间一个基底　　

A．若，，则 

B．则，，两两共面，但，，不可能共面 

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使 

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解．

【解答】解：由，，是空间一个基底，知：

在中，若，，则与相交或平行，故错误；

在中，，，两两共面，但，，不可能共面，故正确；

在中，对空间任一向量，总存在有序实数组，，，使，故正确；

在中，，，一定能构成空间的一个基底，故正确．

故选：．

8．（邯郸期末）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则　 　．

【分析】根据向量的三角形法则结合已知条件即可求解；

【解答】解：连接（图略），

由题意可得，

则．

因为，

所以，，

所以．

故答案为：0

9.已知四棱柱的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．

【分析】
本题考查空间向量的运算及模的求法，属于中档题．
【解答】
解：设
则，，
，

，
则对角线的长为．
故答案为．
10.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”．

【解析】解：为空间的一个基底，
且，，，
设向量，，共面，则存在实数m，n，使，
，
解得，；
因此不能作为空间的一个基底．
故答案为：不能．
11．（兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点，，分别是，，的中点，设

，，，为空间向量的一组基底，

计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用数量积公式先求的值，再根据求得结果；

（2）由，先平方，再开平方．

【解答】解：（1）由题意，，，，

则，，，，，

；

（2），

，

，

即．

12．（三门县校级期中）如图，在平行六面体中，，，，，，设，，．

（1）用，，表示；

（2）求的长．

【分析】（1）由空间向量加法法则得，由此能求出结果．

（2），由此能求出的长．

【解答】解：（1）在平行六面体中，，，，

．

（2），，，，，

．

．

的长．

13.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．
 

试用向量，，表示向量；

若，，，，，求异面直线OG与AB所成角的余弦值．

【分析】本题考查平面向量数量积的运算、向量的加法、减法、数乘运算、向量的模及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
由，得出，即，即可求出结果；
利用，和数量积的定义，代入求出，再求出，代入夹角公式，即可求出结果．

【解答】解：，
，
，
又，
；
由知
又，，，，
，，



，
，
，即，


，
，
．

B组-[素养提升]

1.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，如图所示，则当的值为多少时，平面并给予证明．

【分析】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量的基本定理及应用，考查向量垂直的判断与证明，考查分析与计算能力，属于中档题．
要使平面，可证明且，欲证，则可证明，即，计算求证即可求解．

【答案】证明：当时，平面．

证明如下：

要使平面，可证明且．

欲证，则可证明，

即，

即．

由于，显然当时，上式成立．

同理可得，当时，．因此，当时，平面．