四川省成都市嘉祥外国语高级中学2025届高三下学期高考适应性考试一数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考
人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.
2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题均无效.
4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.
第 Ⅰ 卷 （选择题，共 58 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可.
【详解】因为复数 满足 ，则 ，
因此，复数 的虚部为 .
故选:B.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数的定义域求解出集合 ，再利用交集的定义求解即可.
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【详解】由 ，
则
故选：D.
3. “ ”是“直线 与直线 互相平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件建立方程求出 ，再检验即可得解.
【详解】若直线 与 互相平行，
则 ，解得 或 ，
当 时，符合题意；当 时，两直线重合，不符合题意；
故选：C.
4. 要得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式化简可得 ，进而变换得出 ，即可
得出答案.
【详解】因为 ，
且 ，
所以，将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.
故选：A.
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5. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，
依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其
日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，小寒、雨水、清明日影长之和为 28.5
尺，则谷雨日影长为（ ）
A. 8.5 尺 B. 7.5 尺 C. 6.5 尺 D. 5.5 尺
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意构造等差数列，再由条件得到公差，最后求解其中的项即可.
【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二
个节气其日影长依次成等差数列 ，
设等差数列 的公差为 尺，
由题可知， ，即 ，解得 ；
，即 ，解得 ；
所以 ，
所以 ，即谷雨日影长为 5.5 尺，
故选：D
6. 双曲线 的左､右焦点分别为 ，以 的实轴为直径的圆记
为 ，过 作 的切线与曲线 在第一象限交于点 ，且 ，则曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设切点为 ， ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 E，由三角形面积公式及双曲线定
义得到 ， ， ，再结合余弦定理即可求解.
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【详解】
设切点为 ， ，连接 ，
则 ， ，
过点 作 ⊥ 轴于点 E，
则 ，故 ，
因为 ，解得 ，
由双曲线定义得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
化简得 ，
所以 ，解得 ，
所以离心率 .
故选：B
7. 设函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， .若不等式
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可得 是 R 上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到 ，令
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，利用基本不等式求出 的最小值，得解.
【详解】因为 ， ，
所以 在 上单调递增，且 恒成立，又 是定义在 R 上的奇函数，
所以 是 R 上的增函数，
不等式 ，对任意的 恒成立，
即 ，
，又 ，
，令 ，
，
，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到 ，利用基本不等式求
出最值.
8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有 6 张扑克牌，点数分别为 1~6，两人各随机出牌 1
张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复
上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜 2 次或平局 4 次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌 次，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.
【详解】甲乙每次出牌 1 张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
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所以平局的概率 ，
若甲胜，则结果有 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 9 种，
所以甲胜的概率为 ，同理乙胜的概率也为 ，
各出牌 4 次后停止游戏，若 4 次全平局，概率为 ；
若平局 2 次，则最后 1 次不能是平局，
另外 2 次甲全胜或乙全胜，概率为 ，
若平局 0 次，则一方 3 胜 1 负，且负的 1 次只能在前 2 次中，概率为 ，
所以 .
故选： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A 若随机变量 X 服从正态分布 ，且 ，则
B. 一组数据 10，11，11，12，13，14，16，18，20，22 的下四分位数为 18
C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱
D. 若 展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中 项的系数为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项 A：利用正态分布的对称性求解即可，选项 B：结合下四分位数的概念求解即可，选项 C：利
用线性相关的系数与线性相关性强弱的联系进行求解即可，（4）对二项式中的 赋值为 1，再利用展开式的
通项求解系数即可.
【详解】选项 A：因为 ，所以 ，故 A 正确；
选项 B：由题意 ，所以该 10 个数据的下四分位数为第 3 个数 11，故错误；
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选项 C：若两个变量的线性相关系数 越接近于 1，则这两个变量的线性相关性越强，所以 C 错误；
选项 D：∵ 展开式的二项式系数之和为 ，∴ ，故 ，通项为
，
则含 项的系数为 .故 D 正确.
故选：AD.
10. 已知正方体 的棱长为 ，点 在底面 上（含边界），且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. 点 的轨迹的长度为
B. 直线 与平面 所成角的正切值最大为
C. 平面 截该正方体的内切球所得截面的面积为
D. 若动点 在线段 上， 为 的中点，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正方体性质可得点 的轨迹是四分之一圆，可判断 A 正确；易知直线 相对于平面 的
倾斜程度越大，所成角的正切值越大，计算可知 B 错误；求出内切球球心到平面 的距离可判断 C 正确，
利用线面垂直关系可知当 三点共线时，满足题意，可得 D 正确.
【详解】对于 A，根据正方体性质可得 ，可知 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的四分之一圆，如下图所示：
则其轨迹的长度为 ，故 A 正确；
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对于 B，易知当点 位于棱 上时，直线 与平面 所成的角最大，
此时 ，即直线 与平面 所成角的正切值最大为 ，故 B 错误；
对于 C，易知内切球 半径为 ，球心 位于正方体的中心，其到平面 的距离为 ，
易知 ， ，点 平面 的距离为 ；
可得球心 到平面 的距离为 ，
故截面圆的半径 满足 ，则所得截面的面积为 ，故 C 正确；
对于 D，如下图：
先固定点 ，当点 在 上时， 最小，
再让点 移动，当 三点共线时， 最小，
此时 ，故 D 正确.
故选：ACD
11. 在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 （ 为弧度）
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”，则（ ）
A. ，函数 都为“ 旋转函数”
B. 若函数 为“ 旋转函数”，则
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C. 若函数 为“ 旋转函数”，则
D. 当 或 时，函数 不是“ 旋转函数”
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，举例说明即可；对 BCD，设将 旋转 后得出方程 ，则只需
与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可.
【详解】对 A：当 旋转 时与 轴重合，此时 个 对应多个 值，故 A 错误；
对 B：将 旋转 后所得直线为 ，则只需 与原函数仅有一
个交点；
令 ， ，当 时， 只有一个零点，所以 ，即
，故 B 正确；
对 C：令 ，当 在定义域内仅有唯一解时，即 ，
当 时， 仅有一个解，故满足题意；
当 时， 的判别式 ，
对任意 ，都存在 使得判别式大于 0，不满足题意；故 ，故 C 正确；
对 D：若 是“ 旋转函数”，当 仅有唯一解时，即 ，令
，
，令 ，则
当 时，方程为 ，得 ，仅有唯一解，符合题意；
当 时，当 ， ，当 ， ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增，
又因为 时， ， ，所以可得 先减后增，
不符合题意；
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当 时，当 ， ，当 ， ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，
所以当 时， 有极大值也是最大值 ，即 ，则 ；
综上得存在 时， 是“ 旋转函数”，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常
化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函
数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成
立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利
用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思
路，有着非凡的功效.
第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 ，若 ，且 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出 ，再计算模长可得.
【详解】设 ，则 ，
由 ， 可得 ，解得 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
13. 若函数 存在唯一极值点，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
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【分析】求导后构造 ，再求导分析单调性数形结合可得.
【详解】 ，因为 存在唯一极值点，所以 存在唯一
变号根.
即 存在唯一变号根，设 ， ，
函数 在 上单减；在 上单增，在 上单减；
当 时， ；当 时， ；则实数 a 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知数列 满足 ，则
__________．
【答案】2022
【解析】
【分析】将已知化为 代入可以左右相消化简 ，将
已知化为 ，代入可以上下相消化简 ，再全部代入求解即可.
【详解】由 知 ，
，
，故 ，
所以 ，
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.
故答案为：2022.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在 2025 年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路
飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见
解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班 50 人进行了问卷调查，得到如下 列
联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10
男生 5
总计 50
已知从全班 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6．
（1）请将上面的 列联表补充完整，根据小概率值 =0.01 的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与
性别是否有关；
（2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取 6 人做进一步的问卷调查，再从这 6 人
中随机选出 3 人采访发言．设这 3 人中男生人数为 ，求 的分布列及期望值．
附： ， .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）表格见解析，与性别有关联
（2）分布列见解析，2
【解析】
【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算公式即可求解；
（2）根据分层抽样计算出男女生人数，由已知可得 服从超几何分布，计算概率写出分布列，最后计算数
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学期望
【小问 1 详解】
因为从全班 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为 ，其中女生 10 人，则男生 20 人，
不喜欢哪吒角色的人数为 ，其中男生 5 人，则女生 15 人，
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生 10 15 25
男生 20 5 25
总计 30 20 50
零假设为 ：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推
断犯错误的概率不大于 ；
【小问 2 详解】
由题意，按分层随机抽样抽取的 6 人中，男生人数为 ，女生人数为 ，
表示从这 6 人中随机选出 3 人中男生的人数，
所以 的所有可能取值为 1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布列为
1 2 3
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数学期望 .
16. 如图，在四面体 中， ， ，点 为棱 的中点，点 为
棱 上的动点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）已知二面角 的大小为 ，当直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 时，
求此时四面体 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）可得 ，再结合已知确定点 位置，进而求出四面体 的相关元素并求出体
积.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
又 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ，由 为 中点， ，得 ，
又 平面 ，因此 面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．
【小问 2 详解】
由（1）知，二面角 的平面角为 ，则 ，
由 平面 ，得 为 与平面 所成的角，
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在 中， ，则 ， ，
而 ，则 ，此时 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，而 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
在 中， ，则 ，
所以四面体 的体积 .
17. 设 的三个内角 的对边分别为 ，已知角 为钝角， .
（1）若 ，求 的周长;
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得 ，再利用正弦定理求出 ，
然后利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理，得 ，而 ，
则 ，即有 ，而 为钝角，则 为锐角，因此 ，
由 ，得 ，由 ， 为锐角，得 ，
由正弦定理 ，得 ，
，
由余弦定理得 ，
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于是 ，解得 ，
所以 的周长为 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
则
，又 ，即 ，
因此 ，所以 的取值范围 .
18. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图所示，动直线 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M．点 N 是 M 关于 O 的对
称点， 的半径为 ．设 D 为 的中点， 与 分别相切于点 E，F，求 的最小
值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）由离心率 ，可得 ，再根据椭圆 过点 ，代入椭圆方
程，进而可求出 ；
（2）设 ， ，联立 ，可得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，可求
得点 的坐标，进而得出 的表达式，整理得 ，令 ，可得
，进而可求得 ，设 ，可知 ，即可得到 的最
小值，及 的最小值.
【小问 1 详解】
∵椭圆 的离心率为 ，
∴ ，则 ，又椭圆 C 过点 ，
∴ ，
∴ ，
则椭圆 C 的方程为 ．
【小问 2 详解】
设 ， ，
联立 ，得 ．
由 ，得 ，
且 ，
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因此 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
整理得 ．
因为 ，
所以 ．
令 ， ，故 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，当 时等号成立，此时 ，
所以 ，即 ，
由 ，可得 ，即 且 .
设 ，则 ，
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所以 的最小值为 ，
从而 的最小值为 ，此时直线 的斜率是 0．
综上所述：当 ， 时， 取到最小值 ．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜
率、面积等问题.
19. 意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图
象，定义双曲正弦函数 ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性
质①平方关系： ，②倍元关系： .
（1）求曲线 在 处的切线斜率；
（2）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范
围：
（3）（i）证明：当 时， ；
（ii）证明： .
【答案】（1）
（2）
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析题意，利用导数的几何意义进行计算即可.
（2）分类讨论不同种情况，结合导数判断并取舍即可.
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（3）利用给定定义将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可.
【小问 1 详解】
，则
所以 ，可得 在 处的切线斜率为
【小问 2 详解】
令 ，
则 ，
下面证明：对任意 恒成立,
先证明：对任意 .证明如下：设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减，当 时， ，
函数单调递增，故 ，故 ，
继续证明：对任意 .
证明如下：令 ，则 ，
因此 在 上单调递增；所以 ，故
当 时，对 ，都有 ，函数 在 上单调递增，
则 ，解得 ；
当 时，对 ，
都有 ，对 ，都有 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则对 ，都有 成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
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（i） ，令 ，则 所以 在
上单调递增，所以
所以当 时， 成立；
（ii）下面证明：当 时， 成立，
令 ，则
由前问解答过程，对任意 成立，所以
所以 在 上单调递增，所以
所以当 时， 成立
令 且 ，可得 ，
即 ，
由题意 ，令 且 ，可得 ，因为
所以 ，
由①当 时， ，所以令 且 ，可得
所以 ，
由前面解答过程得，对任意 成立，
令 且 ，可得 ，
所以 ，
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又 且 ，所以 ，
所以 所以可得
，
即可得 .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用
裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可．
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