四川省成都市嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高一上学期期中适应性（二）考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】将全称量词改为特称量词，并将命题的结论否定即可.
【详解】∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定，
∴“，”的否定为“，”，
故选：.
2. 设集合，则满足条件的集合N的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合并集的性质进行求解即可.
【详解】因为，，所以集合N中必含有，
因此或或或，
故选：B
3. 不等式x2≥2x的解集是( )
A. {x|x≥2}B. {x|x≤2}
C. {x|0≤x≤2}D. {x|x≤0或x≥2}
【答案】D
【解析】
【详解】由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，
解得，即函数的定义域为.
故选：D.
5. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解绝对值不等式得集合A，解分式不等式得集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D
6. 任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再利用充分条件的定义判定即可．
【详解】解：任给，方程，
，
由，
则是函数的一个充分条件是．
故选：D．
7. 若不等式在区间0,1上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】解：令，因为，则，
所以原不等式等价于在上恒成立；
令，
在时单调递减，在时单调递增，
所以当时， ，
若在上恒成立，则，所以.
故选：A
8. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．记．若集合是平衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数的奇偶性（ ）
A. 与相关，既可以是奇数，又可以是偶数
B. 与无关，既可以是奇数，又可以是偶数
C. 与无关，必为偶数
D. 与无关，必为奇数
【答案】D
【解析】
【分析】根据平衡集的定义得，因此的奇偶性相同，又因为存在为奇数，所以根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性的规律，即可判断.
【详解】由已知得，因为集合是平衡集，
设去掉元素，根据题意得，其中，
不妨设集合和中的元素之和均为，所以，其中，
则，所以偶数，其中，
因此的奇偶性相同；
因为存在为奇数，所以均为奇数，
由知也为奇数，且，所以也为奇数.
所以必为奇数
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义下的集合问题，需要正确理解定义，根据定义正确推理即可.
二、多选题
9. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，
，，，，，
，即，，A错误；
对于B，，
，，，即，，B正确；
对于C，，
，，，，，
即，，C正确；
对于D，，
，，，，
即，，D正确
故选：BCD.
10. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最大值为1
B. 的最小值为2
C. 的最小值为2
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式即可直接求解ABC，利用乘“1”法即可求解D.
【详解】因为，，，
，当且仅当时等号成立，故A正确；
，当且仅当时等号成立，所以，故B错误；
，当且仅当时，等号成立，故C正确；
，
当且仅当，即等号成立，故D错误.
故选：AC．
11. 定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 函数在上是增函数
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AB；判断出函数的奇偶性，利用函数单调性定义即可判断函数单调性，判断C；结合函数性质即可求解不等式判断D.
【详解】对于A，令，则，则，
令，则，则，A正确；
对于B，若，则，，
，
故，B正确；
对于C，由于函数定义域为，取，则，
即偶函数；
任取，且，则，
因为，故，则，则，
故函数在上是减函数，C错误；
对于D，由C的分析可知函数在上是增函数，
故由结合，可得，且，
解得，且，即的解集为，D正确，
故选：ABD
三、填空题
12. 已知函数，求__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，求解代入计算可得，从而求出.
【详解】因为函数，
令，则，
因为，所以，
所以.
故答案为：
13. 已知实数，满足关系：，.则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法把用与表示，再由不等式的性质得答案.
【详解】设，
则，解得，，
，
由，，
得，，
所以，即，
的取值范围为，
故答案为：.
14. 已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可．
【详解】，
所以在时单调递减，
所以，，即；
因为对存在，存在，使，
所以，
所以存在，使得，
即，即能成立，
令，则要使在能成立，
只需使，
根据增函数减减函数易知：函数在上单调增，
所以，
故只需，所以的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知集合．
（1）求;
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先求得，然后分与讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，则或，
且，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
则，且，
当时，即，解得；
当时，由可得，解得；
综上所述，.
16. 已知正实数x，y，满足．
（1）求xy的最小值；
（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）8； （2）或﹒
【解析】
【分析】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对进行变形，构造成可以使用基本不等式的形式，利用基本不等式求其值域﹒
【小问1详解】
∵x，y为正实数，，
∴
解得：，
当且仅当，即x＝4，y＝2时，等号成立，
则xy的最小值为8．
【小问2详解】
由得：，则，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立﹒
∴，解得：或．
17. 已知函数是定义在上的过原点的函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）,．
【解析】
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质即可求解，，进而可求函数解析式；
（2）设任意，然后利用作差法比较与的大小即可判断．
（3）根据函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
由于函数是定义在上过原点的函数，
则，即，
因为，解得，
则，
【小问2详解】
在上为增函数，证明如下：
设任意，则，
由于，则，，即，
又，
则有，则在上是增函数．
【小问3详解】
故在上为单调递增的函数，
由可得，
所以，
解得，，
故的范围为,．
18. 已知函数．
（1）已知，若，求实数取值范围；
（2）求在上的最小值；
（3）函数的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】（1）由可得，即关于的不等式，求解即可；
（2）得二次函数的对称轴，然后分，，三种情况分类讨论即可；
（3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可.
【小问1详解】
因为A=xfx>0，，
所以，所以，解得；
故实数取值范围为.
【小问2详解】
函数的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，故；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故；
当，即时，在上单调递减，故；
综上所述；
【小问3详解】
由（2）可知
当时，在上单调递增，此时最大值为；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，此时的最大值为；
当时，在上单调递减，此时的最大值为；
综上所述的最大值为.
19. 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立．
（1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值；
（2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明；
（3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
【答案】（1）
（2），其中，，
（3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可；
（2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解；
（3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可.
【小问1详解】
由题意得
所以时，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【小问2详解】
由题意可知，当时，
调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，，
当且仅当时，等号成立.
证明：
所以，，当且仅当时，等号成立.
根据题意，可设，，，
用，，替换，，可得，
当且仅当时，等号成立.
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
【小问3详解】
设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为，
可得盒子的容积为，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为.