湖北省十堰市六县市一中教联体2024~2025学年高一下册4月期中数学试题【附解析】

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试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先由正弦定理求出或，两种情况分别用正弦定理求即可.
【详解】由正弦定理，得，
因为，，所以，所以或.
①当时，.此时
；
②当时，.此时
.
所以或.
故选：D
2. 如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出.
【详解】，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即.
故选：C
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件求得的值，再通过诱导公式求即可
【详解】因，所以，
所以，
所以.
故选：A.
4. 已知，是两个不共线向量，向量与方向相同，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线得到方程，从而得到或，经过检验，排除不合要求的值，得到答案.
【详解】由，不共线，易知向量为非零向量，
由向量与方向相同，
可知存在实数，使得，即.
由，不共线，必有，
否则，不妨设，则.
由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾.
由，解得或，
当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符.
当时，，，方向相同，符合题意.
因此，当向量与方向相同时，
故选：B
5. 函数满足，且在区间上，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期性及分段函数解析式计算可得.
【详解】因为函数满足，所以函数的最小正周期是4.
因为在区间上，，
所以，
所以.
故选：B
6. 若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】设与的夹角是，，，即 ①，
又，，即 ②，
由①②知，，
，所以与的夹角为.
故选：B
7. 若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（ ）
A. 实数有且仅有一个值
B. 实数有且仅有一个值
C. 的单调递增区间为
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】B选项，根据图象得到，代入，得到方程，结合该点位于单调递增区间，求出；A选项，将代入，结合，得到；C选项，整体法求出函数单调递增区间；D选项，时，，
又关于对称，得到方程，解得，代入解析式，求出答案.
【详解】B选项，由图易得：，
又因为图像过点，所以，，得或
又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对
A选项，因为图像过，即，，，
设函数最小正周期为，则由图得，即，故，
又，所以只有当时，满足要求，A对
C选项，，令，
解得，
故单调递增区间为，，C错
D选项，时，，
又，关于对称，
所以，解得
，D对
故选：C
8. 已知函数，值域为，则下列选项错误的是（ ）
A. B. 的图像关于直线对称
C. 的最大值为1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用同角三角函数关系和换元法得到，，A选项，当时，，由函数单调性求出最值，得到值域；B选项，计算出，B正确；C选项，，故；D选项，化简得到，由单调性求出最值，得到值域.
【详解】因为，所以，
令，则，.
A选项，当时，，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
，故正确；
B选项，因为，
所以的图像关于直线对称，故B正确
C选项，因为，所以，所以，
，故，当且仅当或时，等号成立，
所以的最大值为1，故C正确.
D选项，当时，，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
故，故D错
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 等腰三角形中，，，，，下列说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量是
D. 在上的投影向量与在上的投影向量是相反向量
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算可判断AB；根据投影向量的定义可判断CD.
【详解】对于A，因为等腰三角形中，，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，所以，
因为，所以，所以，故错误；
对于C，因为，，
所以在上的投影向量是，故C错误；
对于D，因为，，
在上的投影向量是，
在上的投影向量是，故D正确.
故选：D.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 中，若，则为锐角三角形
B. 锐角三角形中，
C. 中，若，则
D. 中，若，则为锐角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据边角关系，结合正弦定理以及三角恒等变换，逐项判断即可.
【详解】对于A，，又
所以，化简得，所以、中有一个为钝角，所以错误；
对于B，因为为锐角三角形，所以，即，
且，，所以，即，所以正确；
对于C，由正弦定理，又，所以，所以C正确；
对于D，又可得，易得，均为锐角，所以，
化简得，即，所以也为锐角，所以D正确.
故选：BCD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角函数线证明当时，即可判断A、B，再由诱导公式判断C、D.
【详解】首先证明当时，
构造单位圆，如图所示：

则，设，则，
过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，
由，得，所以，
由图可知，
即，
即；
对于A、B：因为，易知，故A、B正确；
对于C：因为，则，
则，
所以，，故C错误；
对于D：因为，则，
所以x+1tanx=x+tanπ2−x>x+π2−x=π2，
即，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，，
所以，
又且与不共线，
所以，则.
故答案为：
13. 设当时，函数取得最大值，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用辅助角公式可得，结合正弦函数最值分析求解.
【详解】因为，
令，，
则，
当，，即，时，取最大值，
此时，，所以.
故答案为：.
14. 在平面四边形中，，，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意作图，延长，交于，作，分别求出和两个临界位置的长，即可得出的取值范围
【详解】如图所示，延长，交于，作，
由，，可得，
所以点与不重合，点与也不重合，点与不重合，
在中，，，，，
由正弦定理可得，即，
由，解得，
在中，，则，
则是正三角形，解得（此时为临界位置，不能取），
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且.
（1）求.
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理得到，结合，求出答案；
（2）先由正弦定理得到，再结合余弦定理得到，由三角形面积公式得到答案.
【小问1详解】
因为，且，
所以，
所以，
由余弦定理，得，
又，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
由余弦定理得，
解得，
所以
16. 春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.
（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
【答案】（1）；（2）每天的6时或22时的气温为.
【解析】
【分析】（1）根据题中的函数最大值和最小值建立关于A，b的方程求解参数A和b，再根据从2时到14时为半个周期求解出函数的周期，进而求解出，最后代入一组x， y的值求解出函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式求解函数值为0时的自变量的值即可得出答案.
【详解】（1）依题意，， 解得
根据题意，
又时，
且，解得，
所以；
（2）由得，
所以或
由，解得或，即在每天的6时或22时的气温为.
17. 已知向量，．
(1)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(2)已知， ，其中，，是坐标平面内不同的三点，且，，三点共线，当时，求的值．
【答案】（1）且；（2）．
【解析】
【分析】(1)根据与的夹角为锐角可知，且与不共线，将坐标代入求解即可；
(2)由，，三点共线可得，根据向量平行的坐标表示列出方程再结合，即可求出的值．
【详解】(1)因为，与的夹角为锐角，
所以，即，解得
当时，，即，此时，，
与的夹角为0，也满足，但不满足题意，所以，
综上，且．
(2)由题知，，

因为，，三点共线，所以，
所以．
当时，或．
当时，，点与点重合，与题意矛盾；
当时，或．
若，，点与点重合，与题意矛盾；
若，，满足题意．
综上，．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化简再应用辅助角公式化简求出三角函数值进而求出角；
（2）先由正弦定理化简面积结合三角恒等变换，最后应用三角函数的值域可得范围.
小问1详解】
由及正弦定理得：
，
即，
，
，
因为，因此，
所以得，
即，
得或，
又因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
因此，，
所以．
因此，面积的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值；
（3）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）4；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简，然后整体代入法求的单调区间；（2）先整体代入法求出的值域，由题意可知：等价于恒成立，则有，，列出不等式求解可得的最大值；（3）由三角函数的平移变换求出函数解析式，代入方程， 令，则方程可转化为在内有解，分离根据单调性可求出的范围.
【详解】解：（1）由题意得，
．
由，，得，，
可得函数的单调递增区间为，．
（2）因为，所以，
所以，
所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，
所以．
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，
所以整数的最大值为4．
（3）由题意知，，
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得，
再向右平移个单位得，
因为关于的方程在区间上有解，整理得：
，
即（*）在区间上有解，
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，
又因为和在为增函数，
所以在增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，
所以，
综上所述：的取值范围为．