湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二下学期3月联考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知在等差数列中，，，则（ ）
A 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】根据等差数列的性质，可得，
则，即.
故选：C.
2. 设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系.
【详解】由圆，圆心为，半径为2，
因为直线与圆相切，
故，故，所以点在圆内.
故选：C
3. 在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质可得,再由根与系数的关系计算可得结果.
【详解】由是方程两根可得，
由等比数列性质可得，解得或（舍）；
所以.
故选：D
4. 已知是函数的导函数，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，即可代入求解.
【详解】由可得，
故，解得，
故选：A
5. 已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定条件结合分类讨论确定公差，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可.
【详解】设公差为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，
此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前项和为，
，故A正确.
故选：A
6. 已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案.
【详解】由，可得其参数方程为（为参数），
可设，点到直线：的距离为，
则有，其中，，
故当时，，取得最小值，
此时，，
即当的坐标为时，有最小值为.
故选：B.
7. 已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数零点的意义，把问题转化为直线与函数的图象至少有3个交点，作出图象，利用导数求出相切的情况，然后数形结合求得.
【详解】由，得，函数至少有3个不同的零点，
等价于直线与函数的图象至少有3个交点，
直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点，
由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为，
而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率，
当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：D
8. 如图是瑞典数学家科赫在 1904年构造的能够描述雪花形状的图案. 图形的作法是: 从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边. 反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线. 设原三角形 (图①)的边长为1，记第 个图形的周长为，数列 的前 项和为，则使得成立的的最小值为（ ） （参考数据:）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，计算，利用即可得到结果.
【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，边长是前一个图形的，
因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，
由得，，
∴，即，
∴，即，解得，
∴使得成立的的最小值为8.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ）
A. 在这段时间内的平均速度为10m/s
B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s
C. 在s时的瞬时速度为18 m/s
D. 在s时的瞬时速度为16 m/s
【答案】BC
【解析】
【分析】应用平均速度计算判断A，B，应用导函数计算瞬时速度判断C，D.
【详解】在这段时间内的平均速度为m/s，故A错误，B正确；
因为，所以，即在s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误.
故选:BC.
10. 已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 当时，为递增数列
C. 单调递增的充要条件为
D. 当时，满足的的最小值为9
【答案】ABC
【解析】
【分析】分析可知.对于A：利用基本不等式分析判断；对于C：分析可知单调递增，等价于，结合等比数列通项公式分析判断；对于BD：结合等比数列通项公式判断B；分析可知当时，；当时，；结合等比数列性质判断D.
【详解】因为，可知，
对于选项A：因为，且，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故A正确；
对于选项C：若单调递增，等价于，
又因为数列为等比数列，则，
即对任意恒成立，等价于，
即单调递增，等价于，所以单调递增的充要条件为，故C正确；
对于选项BD：若，则，且，即，
所以数列为递增数列，故B正确；
当时，；当时，；
当时，为递减数列，且；
当时，为递增数列，且；
综上所述：当时，；当时，；
所以满足的的最小值为10，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（ ）
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为2
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围.
【详解】如图，连接，
由题意知直线的方程为，即，
直线与双曲线的渐近线平行，
所以，
则，，
联立方程，解得，即，
对于A，因为以为直径的圆经过点，则，
因为，，
所以，
解得，则的离心率，所以A正确；
对于B，因为以为直径的圆经过点，
则，则，，
所以由双曲线的定义知，可得，
所以的离心率，所以B不正确；
对于C，若，则为线段的中点，所以，
于是由在双曲线上，得，即，
解得，所以，
则的渐近线方程为，所以C正确；
对于D，因为，所以，
由余弦定理的推论得，
即，
解得，因为点不在圆外，
所以，即，解得，
所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
（1）求出，代入公式；
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列的前项和为，若，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】由，的关系即可求解；
【详解】由，
故答案为：4．
13. 过点的所有直线中，与原点距离最大的直线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】由几何关系直接求解即可.
【详解】设，由几何关系知，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，
，故直线斜率为，直线方程为，
整理得：
故答案为：
14. 数列：，，则______.
【答案】990
【解析】
【分析】分奇偶对n讨论，再分组后利用等差数列求和公式得解.
【详解】当为奇数时，，，则，
当为偶数时，，， 两式相加得，
则
，
故答案为：990
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求；
（2）条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论.
【小问1详解】
设曲线在点处的切线的斜率，
直线斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，即，
又的导函数，
所以，
所以，
所以，
【小问2详解】
由若在上单调递增，可得在上恒成立，
由（1）可得在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，其中，
又当时，，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
16. 如图，在三棱锥中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，是棱上一点且，求平面与平面的夹角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质可得线线垂直，根据线面垂直的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
在中，由，，则，
由，为公共边，则，
所以，由图可知，
则，即，，
因为，平面，所以平面.
【小问2详解】
在中，由，则，
由，则，即两两垂直，
以以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
在中，由，，则，
设，则，，，，
取，，，，
由，则，可得，
设平面的法向量，则；
令，则，，所以平面的一个法向量.
平面的一个法向量，
设平面与平面所成角的大小为，
.
17. 森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉万立方米的森林.设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量.
（1）请写出一个递推公式，表示二间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量最大为多少万立方米？（精确到1万立方米）（可能用到的数据：，，）
【答案】（1）；（2）.；（3）19万立方米.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到；
（2）若递推公式写成，则，再与递推公式比较系数；
（3）若实现翻两番的目标，则，根据递推公式，计算的最大值.
【详解】解：（1）由题意，得，
并且.①
（2）将化成，②
比较①②的系数，得解得
所以（1）中的递推公式可以化为.
（3）因为，且，所以，由（2）可知，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：，
所以.
到2030年底的森林蓄积量为该数列的第10项，
即.
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，
所以，即.
即.
解得.
所以每年的砍伐量最大为19万立方米.
【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
1.型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
2.形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
3.形如： 的递推公式，通过构造转化为，构造数列是以为首项，为公比的等比数列，
4.形如： 的递推公式，两边同时除以，转化为的形式求通项公式；
5.形如：，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
18. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，过焦点F作斜率为k的直线交抛物线C于A，B两点，且.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点，直线AD，BD分别交准线l于点G，H，则在x轴的正半轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存，
【解析】
【分析】（1）设出直线方程，直曲联立，用韦达定理表示出向量的数量积即可；
（2）设，表示出两直线的斜率，再由点斜式得到直线AD的方程，进而得到，由坐标表示数量积为零求解即可；
【小问1详解】
由题意，知，

设抛物线C的标准方程为，
直线AB的方程为，
联立，消去x，得，
，
设A，B，则，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线C的标准方程为.
【小问2详解】
假设在x轴的正半轴上存在定点，使，

设，
由（1）知，
显然直线AD，BD的斜率存在，将其分别设为，
则，，
则直线AD的方程为，
令，得，同理，得，
故，
由，得，即，
故，解得或（舍去），
即在x轴的正半轴上存在定点M，使得，且定点M的坐标为.
19. 已知等比数列各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
（3）设，若数列的前项和，证明：．
【答案】（1），（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据条件求出首项及可得，由代入可得为等差数列即可求解；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可求解；
（3）由（1）可知，利用裂项相消法求和后根据单调性及有界性即可得证.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，，
化为：，，解得．
又满足，， 即，解得．
，
数列的前项之积为，
，
，
即，
是以2为公差的等差数列.
又，即，
所以
（2），
，
，
两式相减得，
，
（3）
所以数列的前项和，
又，是单调递增，
所以.