湖北省十堰市六县市一中教联体2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省十堰市六县市一中教联体2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】A
【解析】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种.
故选：A
2. 若，则的值为（ ）
A. 2B. 8C. 2或8D. 2或4
【答案】A
【解析】由组合数的性质可得，解得，
又，所以或，
解得（舍去）或.
故选：A.
3. 下列求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则可知，A，B，D求导正确，，C错误．
故选：C．
4. 在等差数列中，若其前项和为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可得，
∴a5＝5，
45，
故选：C．
5. 的展开式中，含项的系数为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】的展开式的通项公式为，令，可得；
所以含项的系数为，即，解得.
故选：C.
6. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ）
A. 4B. 2
C. D.
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，则，
由于，，成等差数列，则，即，
因为，整理得，即，
，解得，
因此，.
故选：A .
7. 若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，；当时，，
函数的图象，如图所示，
要使得函数与的图象有4个交点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8. 已知函数.当时，，求的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设得，，
设，，
则，
当即时，，故在上为增函数，
故，即，所以在上为增函数，
故；
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上单调递减，
所以，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去；
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍去，
综上，.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）
A. 在区间上是增函数
B. 是的极小值点
C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数
D. 是的极小值点
【答案】BC
【解析】根据图象知当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确；
当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；
当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.
故选：BC.
10. 现有3个编号为1，2，3的盒子和3个编号为1，2，3的小球，要求把3个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 没有空盒子的方法共有6种
B. 所有的放法共有21种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有9种
D. 没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子的方法有2种
【答案】AD
【解析】对于A，没有空盒子即相当于3个编号为1，2，3的小球分别放入3个编号为1，2，3的盒子中的全排列，
故方法共有种，A正确；
对于B，所有的放法，即每个球都有3种放法，故共有（种）放法，B错误；
对于C，恰有1个盒子不放球，即有2个球放入一个盒子中，另一个球放入另一个盒子中，
那么先3个盒子选一个作为空盒，在把3个球选出2个绑在一起，在排列，
共有（种）放法，C错误；
对于D，没有空盒子且小球均不放入自己编号的盒子，则只有以下2种情况：
即1号球放入2号盒子，2号球放入3号盒子，3号球放入1号盒子；
1号球放入3号盒子，3号球放入2号盒子，2号球放入1号盒子，D正确，
故选：AD
11. 设正整数，其中，记．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，
，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【答案】-8
【解析】设等比数列的公比为，很明显，
结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，
由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【解析】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同排列方法有种.
故答案：
14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，所以
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即.令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，，当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立等价于当时，，
故时，恒成立，故.
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为128，各项系数之和为．
（1）求正整数和实数的值；
（2）求的展开式中项的系数．
解：（1）由题意可得；
各项系数之和为，即令，
则，
故；
（2）由（1）可知即，
其通项公式为，
令，
故展开式中项的系数为.
16. 已知数列满足．
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前n项和．
解：（1）在数列中，，当时，，
所以.
（2），，
当时，，
两式相减得，则，而满足上式，
所以的通项公式是.
（3）由（2）知，，
所以.
17. （1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；
（2）已知函数.讨论的单调性.
解：（1）由题意，，
在中，，
函数在区间 内是减函数,
∴当 时, 恒成立,
即当 时, 恒 成立,
故当 时 恒成立，
设，
根据对勾函数的单调性知，在上单调递减，
在上单调递增，且，，则，
∴当 时, ，解得：.
∴的取值范围是.
（2）由题意，
在中，
当时, 则 , 在 上单调递减.
当时, 由，解得 .
当 时, ；
当 时, .
∴ 在 上单调递减, 在 上单调递增，
综上，当时，函数单调递减，
当时，函数在上单调递减，在 上单调递增.
18. 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
19. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
（3）证明：.（参考数据：）
解：（1），
，
在处的切线为.
（2），
，则，所以，
在上单调递减，
时，，
因为对任意恒成立，所以，
则，的最大值为.
（3）设，
，
上单调递增，
，
，使，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，
.