湖北省武汉市七校2024~2025学年高一下册4月期中联考数学试题【附解析】

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考试时间：2025年4月15日下午：16：15—18：15 试卷满分：150分
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. 1B. -2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的乘法运算化简再求解.
【详解】解：因为复数，
所以，
所以的虚部为1，
故选：A
2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A. 4B. C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再根据与的面积之比为，得到答案.
【详解】由题意得，
由三角形面积公式得，
又与的面积之比为，
故的面积为
故选：C
3. 中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选：A
4. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心．
【详解】由题意可知：
令，是函数的图象的一个对称中心，故本题选A．
【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心.
5. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案.
【详解】，故，
，故，
因为三点共线，故，解得.
故选：C
7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．
【详解】由题意得，
即，
所以，得，
得，
当且仅当，即时，的最小值为.
故选：D．
8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为
，
因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为.
所以函数的最小正周期为，可得，即，
由可得，
解得或，
当时，，
由可得，可得，解得，
所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解，
令，
由可得，由可得，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D. 以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
【答案】BC
【解析】
【分析】利用棱台的结构特征判断A；利用棱柱的结构特征判断B；利用圆锥的结构特征判断C；利用圆台的结构特征判断D.
【详解】对A，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故A错误；
对B，棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故B正确；
对C，因为每条腰都是母线，且圆锥的母线长度相等，因此过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确；
对D，以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故D错误.
故选：BC.
10. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A. 的模长为定值B. 为纯虚数
C. 对应的点位于第二象限D. 的共轭复数为
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案.
【详解】A选项，，故的模长为，A正确；
B选项，，为实数，B错误；
C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误；
D选项，，共轭复数为，D正确.
故选：AD
11. 已知函数部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. 函数为偶函数D. 函数在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B ，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D．
【详解】对于A，函数的部分图象，
可得，，
，则．
又，所以，，
所以，，又，
，，故A正确；
对于B，由，
，
，故B正确；
对于C，将函数图象向左平移个单位长度得到，
则为奇函数，故C错误；
对于D，当则，因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故D正确，
故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】因为，所以设，
故，解得.
故答案为：-2
13. 已知都是锐角，，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，
故答案为：
14. 已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据已知条件，易得，再结合在上单调，可知，进而可得的最大值.
【详解】由为的零点，得，
即，，①
又因为图像的对称轴，
得，，②
联立①②得：，故为奇函数，
又因在上单调，
所以，即，故，
因为奇函数，故，且检验满足在上单调.
故答案为：5.
【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于在上单调，可转化为，但需验证结果是否满足题意即可.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在梯形中，，，.
（1）若，求的长；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；
（2）利用余弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
则.
【小问2详解】
因为，所以.
由余弦定理得，
则，
所以
16. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
【小问2详解】
若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
17. 如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为

（1）求的值；
（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出；
（2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案.
【小问1详解】
由题意，振幅等于半径，即，
逆时针方向每分钟转一圈，，，
由题意，
因为时，，所以，所以，
又；
【小问2详解】
由（1）可得，，
令，则有，
即，，
，
当时，最小，，
盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.
（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，由正弦定理得：，
因为 ，所以，得，
又，故 ，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积为.
（2）由及得：，，
∵，则为锐角，
∴，故.
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为.
【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
19. 如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

（1）用，表示；
（2）若，，求的值；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案；
（2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案；
（3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【小问1详解】
因为D为BC中点，
所以，.
又因为，
所以.
【小问2详解】
若，，
所以，，
所以.
因为M，O，N三点共线，
所以，
所以，.
【小问3详解】
因为，，，
所以，
.
由（2）得，得，，
令，，则，
得.
根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，
所以，.
因为，
所以，根据二次函数的性质可知，
所以的取值范围为.
【点睛】思路点睛：用基底表示出向量，根据向量数量积的运算律得出的表达式，然后根据的关系化简，进而根据基本不等式以及二次函数的性质，即可得出答案.