贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024~2025学年高一下册第三次月考（5月）数学试题【附解析】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
4．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为
A．30°B．90°C．60°D．120°
5．在中， ，其面积为，则等于
A．B．C．D．
6．已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
8．．如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为1B．
C．D．的共轭复数为
10．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线是异面直线
C．在直线上存在点F，使平面
D．直线与平面所成角是
11．如图是函数（，，）的部分图像，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是的函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
13．已知，则 .
14．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ．
四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
(1)用向量，表示，；
(2)求.
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
18．如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)连接交于点，求三棱锥的体积；
(3)已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值．
19．已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．