广东省珠海市实验中学2024~2025学年高二下册5月段考数学试卷【附解析】

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
一、选择题：共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的．
1. 已知函数，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】由题意可得，
所以.
故选：C
2. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 270B. 225C. 180D. 135
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式计算即可.
【详解】因为数列是等差数列，所以，
则.
故选：C.
3. 在展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
4. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，……，第行的第3个数字为则（ ）
A. 165B. 120C. 220D. 96
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由杨辉三角可得，再由组合数性质可求得答案
【详解】由题意得，，
则，
故选：A
5. 若，则（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由题意，得，化简可得，解得．
故选:B
6. 已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.
【详解】根据式子结构，构造函数，则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，，
因为，所以，即.
故选：D
7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案.
【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则.
故选：C
8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.
【详解】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据分布列的性质及得到方程组，求出、，即可判断A、B，再由期望与方差的性质判断C、D.
【详解】依题意，解得，故A错误，B正确；
又，所以，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故选：BCD
10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可.
【详解】因为数列满足，，
所以
，
所以，
所以AB正确，C错误，
因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，
所以，所以D正确，
故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的极小值为
B. 有两个零点
C. 存在使得关于的方程有三个不同的实根
D. 的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】先求导函数，根据正负确定单调性．判断A；运用极大值和极小值都小于，判断B；运用 y=f(x) 与 y=a 有三个不同交点，即 f(x)=a 有三个不同实根，判断C；运用函数单调性判断D．
【详解】函数的定义域为，，
由得或；由得，有极大值，极小值，A正确；
由极大值和极小值均小于0知最多一个零点，B不正确；
当时，，当时，，当时，有三个不同的实根，C正确；
当时，，此时，D不正确．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量服从两点分布，且，，那么________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据概率之和为1即可求解.
【详解】由题意可知或，
由于，所以，
故答案为：
13. 有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有__________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
合计有种不同分配方案，
故答案为：.
14. 设函数在区间上的导函数为在区间上的导函数为．若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知实数是常数，．若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，求出，问题转化为恒成立，进而解得答案．
【详解】由题意，，
根据“凸函数”的定义，原问题可以转化为：即对任意的恒成立，
将视作自变量，视作参数，则，解得，解得，由，故.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：在已知参数范围求不等式恒成立问题时可采用主元变换法.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意，得，
又为等比数列，所以，即，
解得或，所以或；
小问2详解】
当时，，
此时；
当时，，
此时.
16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望为，方差为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解.
（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差.
【小问1详解】
设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”，
依题意，，，
因此，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
【小问2详解】
依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望；.
17. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；
（2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性.
【小问1详解】
当时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
【小问2详解】
，函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
18. 已知．
（1）求的值
（2） ①证明：，其中，，，，；
②利用的结论求的值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）赋值和，即可求解系数的和；
（2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
令，得，
令，得，
【小问2详解】
① 证明：，
，
②解：由①得：，
，
，
，
，
，
．
19. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
（1）若，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
【答案】（1）；
（2）的最大值为，此时的值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率.
（2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值.
【小问1详解】
依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
所以所求概率为.
【小问2详解】
记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.
1
2
3
0
1
2
3