广东省部分学校2024~2025学年高二下册5月联考数学试题【附解析】

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册到选择性必修第二册第四章占30%，选择性必修第二册第五章到选择性必修第三册第七章占70%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ）
A 3B. 4C. D.
6. 在正四棱柱中，，为的中点，为底面内一点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
7. 现提供5种不同颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（ ）
A. 360种B. 420种C. 120种D. 480种
8. 若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A B. 56C. D. 70
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量的分布列为
则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，则（ ）
A.
B.
C
D.
11. 若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A. B. C. 2D. e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则________．
13. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为________．
14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年河北广播电视台《魅力朗读者》青少年朗读大会以“双争”为主题，延续中华文脉与基因，激发青少年的爱国爱乡情怀，让经典的力量浸润青少年的心田，使时代之声得以传扬，同时，该活动也为广大学生提供一个认识自我、锻炼自我、展示自我、完善自我的舞台，携手广大青少年立时代新潮，发时代新声．某学校准备从2名女同学与7名男同学中随机抽取5名同学为本次朗读大会做准备练习，且均以单人形式按先后顺序进行练习．
（1）若2名女同学均参加练习，且她们的练习顺序不能相邻，则不同的安排方法有多少种？
（2）若2名女同学均参加练习，且前3名练习的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？
16. 在等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
17. 某研究生导师带领6名研究生参与某项目研究，其中有2名研究生有参与项目经验，4名研究生没有参与项目经验．该项目研究分为三个阶段，依次开展，每个阶段均从这6名研究生中随机抽取2名参与研究．没有参与项目经验的研究生只要参加了1次项目研究，即视为有参与项目经验的研究生．
（1）求研究生在该项目研究的三个阶段中恰有一次被抽到的概率；
（2）求第一阶段抽到有参与项目经验研究生人数的分布列；
（3）记第二阶段抽到没有参与项目经验的研究生人数为，求的期望．
18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．
（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．
（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求；
（2）若在上有两个零点，求的取值范围；
（3）若，过点向曲线作切线，求切线的方程．
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