福建省厦门市杏南中学2024~2025学年高一下册4月期中测试数学试题【附解析】

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的虚部概念求解.
【详解】z的虚部是.
故选：B.
2. 中，若，则的面积为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用三角形面积公式进行计算.
【详解】因为，
又
所以的面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式.属于容易题.
3. 在中，点D是AB的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法和减法运算即可.
【详解】因为点D是AB的中点，
所以
所以
故选：D.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
5. 向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.
【详解】在向量上的投影向量为.
故选：B
6. 设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用线线位置、线面位置关系，逐项判断即可.
【详解】对于A，由，，得或是异面直线，A错误；
对于B，由，，得或相交，或是异面直线，B错误；
对于C；由，，得或或与相交，C错误；
对于D，若，，则，D正确.
故选：D
7. 如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，正六棱台与正六棱柱的高分别为和，则该花灯的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出辅助线，求出正六棱台的侧高，从而求出正六棱台的侧面积，再求出正六棱台的下底面面积，圆柱的侧面积和底面积，相加得到该花灯的表面积.
【详解】正六棱柱的六个侧面面积之和为，
正六棱柱的底面面积为，
如图所示，正六棱台中，，
过点分别作垂直于底面于点，
连接相交于点，则分别为的中点，
过点作⊥于点，连接，则为正六棱台的斜高，
其中，，，
由勾股定理得，故，

所以正六棱台的斜高为，
故正六棱台的侧面积为，
又正六棱台的下底面面积为，
所以该花灯的表面积为．
故选：A．
8. 已知某圆锥的底面圆半径为1，且该圆锥侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用弧长公式及勾股定理，结合已知条件及球的体积公式即可求解.
【详解】设该圆锥的母线长为，
由，得，
再设圆锥的高为，则
，
画出几何体的轴截面，如图所示

则是等腰直角三角形，
所以该圆锥的外接球的半径为
，
外接球的体积为．
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应点在第二象限
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复数除法求出，再逐项求解判断.
【详解】依题意，复数，
对于A，，A正确；
对于B，在复平面上对应点在第四象限，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有且仅有两个
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若为锐角三角形，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案.
详解】对于A：若，，，
由余弦定理得，
故符合条件的有且仅有一个，故A错误；
对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则，
由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确；
对于C：若，由正弦定理得，
由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D：若为锐角三角形，则，所以，
因为在上单调递增，所以，故D正确．
故选：BCD．
11. 如图所示的正方体中（ ）

A.
B. 异面直线AC与所成的角为
C. 若点P是直线AC上一个动点，则四棱锥体积随着点P的运动而改变
D. 直线与平面内任意直线都不平行
【答案】AD
【解析】
【分析】利用线面垂直可得线线垂直判断A；利用平行线作出异面直线所成的角，在三角形中求解判断B；先证线面平行，从而确定四棱锥的高为定值，底面也确定，判断C；利用线面关系判断D.
【详解】对于选项A，因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，正确；
对于选项B，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，
因为，所以为等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角为，错误；
对于选项C，因为平面平面，平面，所以平面，
故直线上一个动点P到平面的距离为正方体的棱长，
又四棱锥的底面面积确定，
所以四棱锥的体积一定不随着点P的运动而改变，错误；

对于选项D，因为直线与平面相交，所以直线与平面内任意直线都不平行，正确.
故选：AD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分.
12. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据斜二测画法得出的结构，线段长，垂直关系，从而求得周长．
【详解】斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半，
所以，，
又因为，所以，因此的周长为，
故答案为：6．
13. 已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为，底面周长为，则圆柱的体积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆柱底面圆半径及高，再利用柱体体积公式求解.
【详解】由圆柱底面圆周长为，得该圆柱底面圆半径为1，
由圆柱的侧面展开图的矩形面积为，得母线长，
所以该圆柱的体积为.
故答案为：
14. 如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，求出的最大值即可.
【详解】在中，设，
，整理得：．
又，整理得：，
，即，
，，，
，当且仅当时取等号．
所以面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角是钝角，求的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出.
（2）利用向量夹角公式及共线向量的坐标表示求出范围.
【小问1详解】
由，得，解得或，
所以或.
【小问2详解】
由与的夹角是钝角，得且与不共线，
则，解得且，
所以的取值范围是.
16. 如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求边的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）△中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可得结果.
（2）△中应用余弦定理求即可.
【小问1详解】
由题设，，故，
又，则.
【小问2详解】
由，，故，
所以，故.
17. 如图，圆柱轴截面是正方形，，点E在底面圆周上（除外），，F为垂足．
（1）求证：平面；
（2）当直线DE与平面所成角的正切值为时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合圆柱的结构特征推理得证.
（2）由线面角求出，进而求出三棱锥的体积.
【小问1详解】
在圆柱中，平面，平面，则，
由点在以为直径的圆上（除外），得，
而平面，则平面，又平面，
因此，又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由平面，得是直线DE与平面所成的角，则，
在中，，
而，则，
又，
所以三棱锥的体积.
18. 如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）画出平面与正方体侧面的交线（不必说明）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）作图见解析.
【解析】
【分析】（1）利用平行公理，结合正方体的结构特征证明即可.
（2）利用面面平行的判定推理得证.
（3）过作直线交的延长线分别于，连接相关线段即可.
【小问1详解】
在正方体中，连接，由分别是的中点，
得，由四边形为正方体的对角面，
得四边形是矩形，则，因此，
所以，，，四点共面.
【小问2详解】
连接，
由，分别是，的中点，得，
又平面，平面，则平面，
而，且，则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，因此平面，
又平面，所以平面平面．
【小问3详解】
过作直线交的延长线分别于，
连接分别交于，连接，
由，得，直线平面平面平面
因此五边形是平面截正方体所得截面，如图，
所以是平面与正方体侧面的交线.
19. 已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
（1）求角C
（2）若，，为角C的平分线，求的长；
（3）若，求锐角面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）设，根据及面积公式得到方程，解得即可；
（3）首先利用正弦定理求出，再由正弦定理得到，，再根据转化为关于的三角函数，根据正弦函数的性质求出面积的取值范围；
【小问1详解】
解：由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
【小问2详解】
解：设由得
.
解得，即角平分线的长度为
小问3详解】
解：设外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴