福建省厦门市杏南中学2023-2024学年高一下学期5月期中阶段性测试数学试题

这是一份福建省厦门市杏南中学2023-2024学年高一下学期5月期中阶段性测试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

作答时间：120分钟满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数，则其对应复平面上的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ）
A．B．2C．D．
3．下列关于向量的各个说法不正确的是（ ）
A．
B．已知非零向量，，满足，则
C．中，D为边BC中点，则有
D．已知点G为内一点，满足，则G为的重心
4．厦门的千年古刹南普陀寺溯始唐朝，坐落于鹭岛名山五老峰下，是闽南佛教胜地．寺内有一宝塔名为万寿塔．杏南中学科研小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．如图所示，现测得，，m，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的高度AB为（ ）
A．mB．18mC．m D．m
5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则②若，，则
③若，，则④若，，则
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
6．已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．如图“天池测雨”法是下雨时，用一个圆台形的器皿收集雨水．已知某次降雨收集数据如图，则本次平地降水量的近似值为（ ）（注：平均降水量＝器皿中雨水体积除以器皿口面积）
A．cmB．cmC．cmD．cm
8．中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则，互为共轭复数B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为．
10．已知，是两个互相垂直的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
11．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的动点且不与A、B重合．下列判断中正确的有（ ）
A．三棱锥四个侧面都是直角三角形
B．面
C．在圆上始终存在一点D，使得
D．若，，，则二面角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．圆柱容球定理是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现，具体内容是这样的：在圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题．我们来重温这个伟大发现．在这个定理中，圆柱体积与球体积之比是______
13．如图，正三棱柱中，AB＝2，，，D为BC的中点．当时，______，此时，直线AD与直线所成的角的余弦值为______．（第1空2分，第2空3分）
14．如图，在中，，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，，则的最小值为______
四、解答题：共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知O为坐标原点，复数，，，，在复平面内对应的向量分别为，，，
（1）若点C在复平面的虚轴上，且．求出实数t与n的值；
（2）若点C在直线y＝1上，且向量，求出实数m的取值，并计算．
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P－ABC中，，，D、E分别是AB，PB的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若AB＝BC＝PC＝2，求三棱锥P－ABC的表面积．
17．（本小题满分15分）
如图，四边形ABCD中，，，且，．
（1）求角B值的大小；
（2）已知M，N是线段BC上的两个动点，且，求的最小值．
18．（本小题满分17分）
如图甲，在四边形ABCD中，，CD＝2，是边长为4的正三角形．沿AC将折起到的位置，使得平面；如图乙所示，点O，M，N分别是棱AC，PA，AD的中点．
（1）求直线PC与面ACD所成角的大小；（2）求证：平面；
（3）求三棱锥A－MNO的体积．
图甲图乙
19．（本小题满分17分）
在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若D为AB中点，且CD＝1，求面积的最大值；
（3）若，求周长的取值范围．
厦门市杏南中学2023—2024学年下学期阶段性测试
高一数学参考答案
考试时间：120分钟满分150分
命题：许坤武审核：刘英得
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．A2．D3．B4．C5．B6．A7．C8．D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．BCD10．AC11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1） ，，
点C在复平面的的虚轴上，即，点
，
，解得
（2）点C在直线上，即，
，，
即，．此时，
16．（本小题满分15分）
证明：（1）在中，D，E分别是AB，PB的中点，则
又，，∴
（2） ，，∴
又∵，，，，
∴
∵，∴．
（3）由（1）（2）证明过程可得知：
，得，；
，得，．
中，，则
中，，则
中，，则
中，，则
因此，三棱锥P－ABC的表面积
17．（本小题满分15分）
解：（1） ，可得，且
又，．
（2）如图，建立平面直角坐标系，则，，，
设，，
则：，，
由可得时，
18．（本小题满分17分）
（1）在正中，O为AC中点，∴．
又∵面，面，，
∴．
∴直线PD在面ACD上的射影为OC，则为直线PC与面ACD所成角，
正中，，即直线PC与面ACD所成角的大小为．
（2）由（1）证明可得，又，∴．
在中，，，，可得
又O，N分别是AC，AD的中点，∴，
∴．
又，，∴．
又，∴平面
（3）
其中，
M到面ACD的距离等于，点P到面ACD的距离，即
∴
19．（本小题满分17分）
【详解】（1）由题意知，
即，由正弦定理得
由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）∵，
即，当且仅当时等号成立．
此时面积的最大值为
（3）∵，∴，，
则的周长
∵，∴，∴，
∴，
∴周长的取值范围是．