2024-2025学年福建省厦门市高一下册第一次月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省厦门市高一下册第一次月考数学质量检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题，即可求解.
【详解】命题“”的否定为：，
故选：A
2. 角的终边所在直线经过点，则有
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由角的终边所在直线经过点，得到的终边在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，即可求解.
【详解】由题意，角的终边所在直线经过点，可得的终边在第二象限或第四象限，
又由，
当的终边在第二象限时，取点时，
可得；
当的终边在第四象限时，取点时，
可得，
所以.
故选D.
本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中注意题目的条件“终边所在直线”，得出终边在第二、四象限，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
3. 下列四个函数中，周期为π的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用三角函数的周期性求解.
【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.
故选：D
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 若满足且与同向，则
C. 对于任意向量，必有D. 平行向量不一定是共线向量
【正确答案】C
【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D.
【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选：C
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【正确答案】C
【分析】由，则只需将函数的图象向左平移个单位长度.
【详解】解：因为，
所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：C.
本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题.
6. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】B
【分析】先根据辅助角公式先将函数化简，然后代入求值.
【详解】解：由题意得：
由可得：
故选：B
7. 已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】法一：由题意得出，先求出，即可求解；法二：不妨设，根据向量坐标表示的运算法则及模的计算即可求解．
【详解】法一：由题意得，
所以，则；
法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，
所以不妨设，则，
故，则，
故选：A．
8. 在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【正确答案】D
【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积概念和运算律可求的值.
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 与终边相同的角有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可.
【详解】与终边相同的角可表示为，
时，为；时，为；时，为；
故选：BCD.
10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点是边的中点
B. 若，则点在边的延长线上
C. 若，则点是的重心
D. 若，且，则的面积是的面积的
【正确答案】ACD
【分析】判断命题真假；将前面条件进行化简，去判断点M的位置（D中若能判断M位置也是一定得出面积比值）.
【详解】A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的
故选择ACD
通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.
11. 函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的解析式为
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数的图象关于点对称
D. 为了得到函数图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
【正确答案】ABD
【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.
【详解】对于A，由图可知，，可得，
由，则，
两式相减得：
，
所以①，
又因为，
所以，结合①，，
因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，那么_____________.
【正确答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用半角公式求得 的值．
【详解】若，
，，，
那么，
故．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．
13. 在等腰直角三角形中，，则________.
【正确答案】
【分析】先求出，再利用平面向量的数量积公式求解.
【详解】由题得,
.
故
本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______
【正确答案】
【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，
所以或，
所以或，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以
且，即且，解得.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值.
【正确答案】
【分析】根据同角关系可得，，即可根据正弦的差角公式求解.
【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，
所以，，
所以.
16. 化简求值：
（1）化简：
（2）求值，已知，求的值
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据诱导公式先化简每一项，然后即可得到最简结果；
（2）利用“齐次”式的特点，分子分母同除以，将其化简为关于的形式即可求值.
【详解】（1）原式，
（2）原式
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系的运用，难度较易.（1）利用诱导公式进行化简时，掌握“奇变偶不变”的实际含义进行化简即可；（2）求解形如的“齐次式”的值，注意采用分子分母同除以的方法，将其化简为关于的形式再求值.
17. 已知，，且与的夹角为120°，求：
（1）；
（2）若向量与平行，求实数的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程来求得.
【小问1详解】
，
所以.
小问2详解】
由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
18. 某公园内有一块半径为15m的扇形空地如图所示，其中一侧靠墙，，公园准备在扇形空地上靠墙修建一个矩形广场，记．

（1）写出矩形广场的面积与之间的函数关系式；
（2）求矩形广场面积的最大值，并求出此时的大小．
【正确答案】（1）
（2）面积最大值为，此时.
【分析】（1）先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案；
（2）利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值.
【小问1详解】
因为，所以，
又，所以，
则
所以．
【小问2详解】
，因为，
所以，所以当，即时，．
19. 在边长为4等边中，D为BC边上一点，且.

（1）若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；
（2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）取的中点，进而整理可得，分析求解即可得结果；
（2）根据题意利用面积公式分析可得，根据向量的线性运算，结合三点共线的结论整理得，代入结合二次函数求最值.
【小问1详解】
取的中点，连接，则，
因为，
可得，
又因为，即，
所以，
故的取值范围为.
【小问2详解】
由题意可得：，
则，
若，即，可得，
因为，
所以，
又因为三点共线，则，且，
可得，
所以，即，可得，即，
所以，
当，即时，实数k的最大值为.
结论点睛：若三点共线，则，且.