重庆市长寿川维中学校2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市长寿川维中学校2024届九年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A．B．C．D．
3．若点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．3C．D．
4．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）

A．32B．34C．37D．41
8．如图，是的直径，切线与延长线相交于点，点为切点，若，，则的长度为（ ）
A．3B．C．6D．
9．如图，正方形中，点分别在边上，连接，已知平分，则为（ ）
A．B．C．D．
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对2，，5，9进行“差绝对值运算”的结果是39；
②，，6的“差绝对值运算”的最小值是9；
③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题
11．计算： ．
12．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为 ．
13．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
14．九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为 ．
15．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，四边形是菱形，交于点，交于点，连接，若，则 ．
17．若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
18．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则 ．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，是的一个外角．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交的延长线于点，连接．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空）．
平分，
①______，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
②______，
，
③______，
，
④______，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，，
，
四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
21．今年的4月15日是第九个全民国家安全教育日．全民国家安全教育日是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日．为增强学生国家安全意识，我校开展了国家安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分为整数，并用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：75，82，73，93，81，82，95，88，92，69．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在C组的数据是：86，83，88
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生扇形统计图

(1)直接写出： ， ， ；
(2)根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若七年级有800人，八年级有600人参与竞赛，请估计七年级和八年级成绩在90分及以上的学生共有多少人？
22．“母亲节”来临之际，某某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，百合每束的进价比康乃馨每束进价多5元．其中购买百合的数量是康乃馨数量的倍，则购买百合花费了1050元，康乃馨花费了600元．
(1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？
(2)若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获利润不低于500元？
23．如图，在等腰中，，，为中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．连接，设点的运动路程为，的面积为．
(1)直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)请在图2中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出当的面积不小于2时的取值范围．
24．如图是体育公园步道示意图．从A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，在点C处测得点B在北偏西，米．
(1)求步道的长度（结果保留根号）；
(2)游客中心Q在点A的正东方向，步道与步道交于点P，测得，小明和爸爸分别从B处和A处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟米，请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．（结果精确到0.1）（参考数据：，，）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．井写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
26．如图，在平行四边形中，于点．
(1)如图1，若，，，求的长；
(2)如图2，若，连接，过点作交于点，在上截取，连接，交于点，的角平分线与相交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，请直接写出点到直线的距离．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
82
b
八年级
83
a
95
参考答案：
1．B
解：的相反数是2．
故选B．
2．B
解：从正面看到的平面图形是，
故选：B．
3．B
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：．
故选：B
4．C
解：∵与位似，点是它们的位似中心，
∴，
∴，
∴与的面积比，
故选：C．
5．B
解：，
，
，
由三角形的内角和可得．
故选：B
6．A
解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；
．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．
故选：C．
8．B
解：连接，设的半径为r，
∵切线与延长线相交于点B，点A为切点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．D
如图，延长到，使，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．C
解：对2，，5，9进行“差绝对值运算”得：

，故①正确；
对，，6进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和6的距离之和，
当时，有最小值，最小值为，
，，6的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③不正确，
综上，故只有1个正确的．
故选：C．
11．3
解：
，
故答案为：3．
12．6
解：这个正多边形的外角为，
所以这个正多边形为，
即这个正多边形为正六边形，边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提．
13．
设两个红球分别为A，B，黑球为C，白球为D，根据题意，画树状图如下：
．
一共有12种等可能性，其中，一红一黑等可能性有4种．
故摸出1个红球1个黑球的概率为，
故答案为．
14．（x﹣1）x＝2256
根据题意得：每人要写(x−1)条毕业感言，有x个人，
∴全班共写：(x−1)x=2256，
故答案为(x−1)x=2256.
15．
解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
16．
解：如图，取中点，连接，
四边形是菱形，
，，，
是的中位线，
，，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
17．7
解：不等式组整理得：，
解得：，
∵不等式组有解且至多2个偶数解，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
且
解得：且，
∵分式方程的解为非负数，
综上，，
则满足题意整数之和为．
故答案为：7．
18． 9 8631
解：由题意可得，
∴，
∵N能被9整除，
∴能被9整除，
又∵，，，互不相等且均不为0，
∴；
∵为整数，
∴能被整除，
又∵，
∴能被整除，
∴
∴当，，，时，M的最大值为，
故答案为：9，．
19．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)见解析
(2)；；；
（1）解∶如图，
（2）证明：平分，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
．
，
，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，，
，
四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：；；；．
21．(1)87，82，40；
(2)八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析；
(3)480人．
（1）八年级成绩在“C组”的有3人，占，
所以“D组”所占的百分比为，
因此，
八年级10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数分别是86，88，
因此中位数是，即；
七年级10名学生成绩出现次数最多的是82，
因此众数是82，即，
故答案为：87，82，40；
（2）八年级学生的竞赛成绩更好．理由如下(写出其中一条即可)：
①八年级学生竞赛成绩的众数95大于七年级学生竞赛成绩的众数82．
②八年级学生竞赛成绩的中位数87大于七年级学生竞赛成绩的中位数82．
（3）（人）
答：七年级和八年级成绩在90分及以上的约为480人．
22．(1)每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元
(2)每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元
（1）解：设每束康乃馨的进价为x元，则每束百合的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元；
（2）解：由（1）得购进百合束，购进康乃馨束，
设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，
由题意得，，
解得，
答：每束百合的售价应至少定为47元才能使获利润不低于500元．
23．(1)
(2)作图见解析，图象有最大值为4（答案不唯一）
(3)
（1）解：过点P作于点H，
在中，，
∴，
∴，即，
∵D为中点，
∴，
当点P在上运动时，则，

当点P在上运动时，则，
∵，即，
∴，
即；
（2）解：如图所示，

由图象可得，图象有最大值为4；
（3）解：由图象可得，当时， ．
24．(1)米
(2)爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
（1）解：如图，
由A处和得点B在北偏东，测得点C在北偏东，
可知，，
由在点C处测得点B在北偏西，可知，
∴，
∴，
∵，
∴（米）
（2）作，交延长线于，
由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则：，
小明到达游客中心所需时间为：分钟，
若要同时到达，则爸爸的速度为：米
即：爸爸的速度要达到每分钟17.9米，他俩可同时到达游客中心．
25．(1)
(2)，此时
(3)或
（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图所示，过点作于点，

当时，，
∴
，
∴，
设，直线的解析式为，
将点代入，得，
解得：，
∴，，，
∴
∴
∵，开口向下，且，
∴当时，，
此时
（3）解：∵
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位；
∵原抛物线解析式为
∴平移后的抛物线解析式为，
当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴点M即为线段与抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点M的横坐标为；
当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，
∵，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，
解得，
∴，
∴直线解析式为
∵直线解析式为，直线解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M即为射线与抛物线的交点，
联立得，
解得或（舍去），
∴点M的横坐标为；

综上所述，点M的横坐标为或．
26．(1)
(2)证明见解析
(3)
（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为；
（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
延长交于点，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
由（2）知，，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵,
∴，
如图，作于，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
作于，由，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即点到的距离为．