浙教版2025年七年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题05分式(考题猜想，12大题型)(学生版+解析)

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题型一 分式有意义的条件
题型二 根据已知信息求代数式的值
题型三 含乘方的分式乘除混合运算
题型四 分式运算的错解复原问题
题型五 分式的加减乘除混合运算
题型六 分式的化简求值
题型七 整式与分式相加
题型八 根据分式方程解的情况求解
题型九 与分式有关的新定义问题
题型十 与解分式方程有关的错解复原问题
题型十一 与解分式方程有关的遮挡/污染问题
题型十二 分式方程与实际问题
题型一 分式有意义的条件
1．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时，
(1)分式有意义；
(2)分式值为负数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案；
（2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
时，分式有意义；
（2）解：，，
，
，
时，分式值为负数．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法．
2．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？
（2）当等于什么时，分式的值为零．
【答案】（1）、3，（2）3
【分析】（1）根据分式的值为零的条件，分式无意义的条件，进行计算即可得到答案；
（2）根据分式的值为零的条件，进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）要使分式的值为0，则
，
解得：，
要使分式无意义，则，
解得：；
（2）要使分式的值为0，则
，
解得：．
【点睛】此题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不为0．
3．（22-23八年级下·江苏·期中）已知分式．
(1)若分式无意义，求x；
(2)若分式值为0，求x；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)或4或8
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可；
（3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解．
【详解】（1）解：∵分式无意义，
∴，
解得：或；
（2）∵分式值为0，
∴，
解得：；
（3）
∵分式的值为整数，
∴或5或或，
解得：或8或2或，
∵且，
∴整数x的值为或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)任何实数，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
（1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．
（2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．
（3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．
【详解】（1）解：∵，∴
∴当x为任何实数时，分式有意义．
当时，分式的值等于0．
（2）解：当时，即时，分式有意义．
当时，即时，分式的值等于0．
（3）解：当，即，分式有意义．
当时，解得：，当时，分式无意义，
故当时，分式的值为0．
题型二 根据已知信息求代数式的值
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由可得，再整体代入计算即可
【详解】解：∵，
∴，即，
原式
6．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）解方程组：，并求分式的值．
【答案】，
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，然后把x，y的值代入分式进行计算即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∴，
故方程组的解为，
∴．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式的求值，熟练掌握加减消元法与代入消元法是解题的关键．
7．（21-22八年级下·福建漳州·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为2的倒数，即
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）仿照例题利用“倒数法”解决问题，先求得，继而计算的值，再取倒数即可求解．
（2）根据题意可得，利用“倒数法”即可求解；
（3）根据“倒数法”求得，，，①＋②＋③即可求解．
【详解】（1）解：由，知，∴，即，
∴，
∴的值为7的倒数，即；
（2）由，知，∴，∴，即，
∴，
∴的值为21的倒数，即；
（3）由，知，，∴，即，
由，知，，∴，即，
由，知，，∴，即，
①＋②＋③得：，∴，
∴，
∴的值为1的倒数，即1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解题意是解题的关键．
题型三 含乘方的分式乘除混合运算
8．（21-22八年级上·全国·课后作业）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】先根据积的乘方运算法则去括号，再利用分式的乘除运算法则化简即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据分式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可；
（3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
10．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果;
（2）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果.
（3）根据异分母的分式加减计算即可．
（4）首先计算乘方，然后计算乘法，然后进行除法运算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和简便方法的应用以及结果的符号是本题的关键．
【详解】（1）解：,
,
；
（2）解：,
,
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型四 分式运算的错解复原问题
11．（2025·宁夏银川·一模）下面是某同学计算的解题过程：
解：……①
……②
……③
上述解题过程从第_____步开始出现错误？请分析错因是_______________．
请写出完整的正确解题过程，并求出当时的值
【答案】②，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简；正确解题过程见解析；
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，根据分母分式的加减法运算法则判断即可；先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可，再将代入计算即可．
【详解】解：从第②步开始出现错误，计算同分母分式减法，分子与分子相减，分母不变，最后再约分化简．
正确的解题过程为：
原式
；
当时，原式．
12．（2025·甘肃临夏·一模）下面是小夏同学进行分式化简的过程：
(1)小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
【答案】(1)二；
(2)．
【分析】本题考查了分式的加减混合运算．
（）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小夏同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
（2）解：
．
13．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
（1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分．
（2）根据分式的运算，正确计算即可，
【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误，
故答案为：①；
（2）原式

．
题型五 分式的加减乘除混合运算
14．（2025·陕西安康·二模）化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运营分式的混合运算法则成为解题的关键．
直接根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
15．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务．
(1)任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误．
(2)任务二：请你写出正确的计算过程．
(3)任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】(1)二
(2)见解析
(3)；6
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题；
（2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题；
（3）注意分式无意义的条件，将代入化简后的式子求解，即可解题．
【详解】（1）解：……第一步，
……第二步，
小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二．
（2）解：，
，
，
；
（3）解：且，
解得且，
当时，
上式．
16．（2023九年级·全国·专题练习）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程,随后用手遮住了其中一部分,如图所示:
×
(1)求被手遮住部分的代数式;
(2)等式左边代数式的值能等于0吗?请说明理由．
【答案】(1)
(2)等式左边代数式的值不能等于0,详见解析
【详解】解 (1)设被手遮住部分的代数式为A,
则A=．
(2)等式左边代数式的值不能等于0．
若等式左边代数式的值为0,则=0,即x+1=0,解得x=-1．
当x=-1时,x+1=0,分式无意义,
∴等式左边代数式的值不能等于0
17．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算
(1)（）+；
(2)（﹣）÷；
(3)（）÷；
(4)（﹣1）÷．
【答案】(1)
(2)
(3)x2+1
(4)
【分析】（1）加减法运算，根据异分母分式的运算法则，可以去括号，直接通分运算．
（2）先算括号里面的，即通分，再相减，能约分先约分，然后把除法转化为乘法．
（3）可以根据公式进行简便运算．
（4）分式的混合运算，先算括号里面的，再把除法转化为乘法．
【详解】（1）解：原式＝+=；
（2）原式＝×=；
（3）原式＝
；
（4）原式＝
=
＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序．（2）分式是运算与分数的一样，一要注意符号；二要结果必须达到最简．
题型六 分式的化简求值
18．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）先化简；，再从，，，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值．
【答案】，4
【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分计算括号内的运算，然后进行因式分解，计算分式乘法，得到最简分式，再结合分式有意义的条件，取合适的值代入计算，即可得到答案.
【详解】解：
，
当，1，，3时，原分式没有意义，
∴，
当时，原式．
19．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，然后从，1，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值， 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件确定，最后把代入计算即可．
【详解】解：原式
∵且且，
∴，1，，2中x只能取，
当时，原式
20．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）先化简，再求值：，若，从中选择一个合适的数代入求出代数式的值．
【答案】，时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，以及绝对值的非负性，先化简分式，再求出的值，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入分式化简后的结果计算即可．
【详解】原式
∵
∴
得
∵时，分式无意义，
∴当时，原式．
21．（2024七年级下·浙江·专题练习）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一 填空
在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变”对分式进行约分，这是第 步；
任务二 订正
请写出该分式化简的正确过程；
任务三 求值
当时，求该分式的值．
【答案】任务一：二；任务二：见解析；任务三：
【分析】本题考查分式的化简求值．
任务一：根据题目中的解答过程，可以发现哪一步是约分；
任务二：根据分式的减法和分式的通分，可以化简题目中的式子；
任务三：将x的值代入任务二中化简后的式子计算即可．
【详解】任务一：
由小彬的解答过程可知，对分式约分在第二步，
故答案为：二；
任务二：订正




；
任务三：当时，原式．
22．（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，再求值：，其中x，y是方程组的解﹒
【答案】，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后利用加减消元法求出方程组的解，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
题型七 整式与分式相加
23．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；．
请按照以上方法解决下列问题．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数．
【答案】(1)
(2)，或或0或1
【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）原式
；
（2）解：原式

，
∵x为整数，该分式的值也为整数，
∴或或1或2，
∴或或0或1．
24．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值．
解：原式．
，
的最小值是2．
的最大值是2．
的最大值是4．
即分式的最大值是4．
【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值．
【答案】5
【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键．
按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答．
【详解】解：．
，
的最小值是1．
的最大值是3．
的最大值是5．
分式的最大值是5．
25．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”．
(1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______；
(3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______．
【答案】(1)①③④
(2)，
(3)或或或
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，
（1）根据“美好分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据“美好分式”的定义，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为，从而可得当或时，分式的值为整数，即可求解．
【详解】（1）解：①；
②不是分式；
③；
④；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
故答案为：，．
（3）解：
当或时，分式的值为整数，
或或或
分式有意义时，
或或或时，该式的值为整数．
题型八 根据分式方程解的情况求解
26．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知
(1)若该方程有增根，求a的取值
(2)若该方程的解为正数，求a的取值
【答案】(1)或6
(2)且
【分析】（1）先把a当做已知数，求分式方程的解，再根据增根的定义，即可解答；
（2）根据（1）中求的x的解，以及该方程的解为正数，列出不等式，再根据分式有意义的条件，即可解答．
【详解】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，
化系数为为1，得，
∵该方程有增根，
∴或，
即 或，
解得：或6；
（2）解：∵方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵当或6时，方程有增根，
∴且．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及使分式方程分母为0的未知数的值，是分式方程的增根．
27．（21-22七年级下·浙江金华·期末）（一）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．”
（二）知识应用：
(1)小明说，方程无解，试通过解方程说明理由．
(2)m为何值时，方程有增根．
【答案】(1)理由见解析
(2)m=1时方程有增根
【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可；
（2）方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
【详解】（1）解：去分母，得，
解得x=2
经检验：x=2是方程的增根，
所以原方程无解；
（2）解：去分母，得，
化简，得，
因为方程有增根，所以，
解得，m=1，
所以m=1时，方程有增根．
【点睛】本图主要考查了解分式方程和分式方程增根的定义，正确理解分式方程增根的定义是解题的关键．
28．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于的方程的解是解题的关键．先解方程求得值，再根据题意可求得的解为，将代入方程可得关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：解方程得，
∵关于的方程的解比的解多，
∴关于的方程的解为，
∴，
解得，
∴
题型九 与分式有关的新定义问题
29．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
(1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
(2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
(3)在（2）的条件下，若，当时，求的值．
【答案】(1)②③④
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值：
（1）根据新定义，逐一进行判断即可；
（2）根据新定义，进行求解即可；
（3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意；
对于②，将互换后，得到，符合题意；
对于③，将互换后，得到，符合题意；
对于④，将互换后，得到，符合题意；
故答案为：②③④
（2）∵是对称式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由题意，得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”．
(1)若，求a，b的“传承数”c；
(2)若，且，求a，b的“传承数”c；
(3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？
【答案】(1)
(2)1或
(3)2或0或4或
【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算：
（1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可；
（2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可；
（3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴a，b的“传承数”c的值为；
（2）∵，
，
，
，
∵c是a，b的“传承数”，
∴
，
当时，；
当时，；
∴a，b的“传承数“c为1或；
（3）∵c是a，b的“传承数”，
∴
，
∵c，n都为整数，
∴或，
解得：或0或4或．
31．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）：
①；②；③；④；⑤
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________．
(3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④⑤
(2)
(3)，或，或．
【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
（1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得；
（2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和；
（3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值．
【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”，
②不是分式，故不属于“和谐分式”，
③，属于“和谐分式”，
④，属于“和谐分式”，
⑤，属于“和谐分式”，
故答案为：①③④⑤
（2）
（3）
∵x为整数，为整数，
∴，或，
∵且且
∴，或，或．该式的值为整数．
32．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
(3)是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，掌握新运算的法则，是解题的关键：
（1）根据新运算的法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可；
（3）根据新运算的法则，列出分式方程进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
33．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析
(2)或3
【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键，
（1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答．
（2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答．
【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下：
解得
解得
经检验，是方程的解
∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；
∴方程与是“相似方程”．
（2）解：
∵x，y，m均为整数
∴
∴
∵m为正整数
∴或3
题型十 与解分式方程有关的错解复原问题
34．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
系数化为1得：⑤
是原分式方程的解⑥
【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析
【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可．
【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
35．（23-24八年级下·浙江温州·期末）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
题目：解分式方程：
解：方程两边同时乘以（第1步）
得：（第2 步）
去括号得：（第3步）
解得：（第4 步）
所以原分式方程的解是：（第5 步）
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；
(2)订正错误，并写出正确的解题过程．
【答案】(1)2
(2)见解析
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以
得：，
∴第2步是错误的．
故答案为：2
（2）解：
方程两边同时乘以
得：，
去括号得：，
解得：，
检验：时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
36．（2024·浙江温州·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程．
【答案】小丁和小迪的解法都是第一步错误；见解析
【分析】本题考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可．
【详解】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误．
正确解法如下：
去分母得：，
移项，合并同类项得：
解得：
检验：将代入中可得：，
故原分式方程的解是．
题型十一 与解分式方程有关的遮挡/污染问题
37．（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
【详解】（1）解：依题意，
方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得
∵是原分式方程的增根，
∴把代入上面的等式得
∴，原分式方程中“？”代表的数是．
38．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
(1)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
(2)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把▲代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设▲为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．
【详解】（1）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：，
所以是原分式方程的解；
（2）设▲，，
方程两边同乘，得：，
把代入，得：
，
解得：．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
题型十二 分式方程与实际问题
39．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）根据信息，完成下列活动任务：
素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．
任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价．
任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？
任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？
【答案】（1）10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；（2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；（3）当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样
【分析】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和作差法是解题的关键．
任务1：根据素材计算；
任务2：根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解；
任务3：根据作差法求解．
【详解】解：任务1：（元/千克），
答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；
任务2：若加A种糖x千克，则有：
，
解得：，
经检验：是这个方程的解；
若加B种y千克，则有：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，当时不合题意，舍去；
答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；
（3）甲糖的价格为：，
乙糖果的价格为：，
∴，只有当时取等号，
∴当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样．
40．（23-24七年级下·浙江金华·期末）依据素材，解答问题．
【答案】任务一：A车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；任务二：车间需要到其他企业调配8人．
【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用是解题的关键．
任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可．
【详解】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，
根据题意可列方程：
解得，
答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程：
，
解得，
经检验，是该方程的解，
答：车间需要到其他企业调配8人．
41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同．
(1)求甲、乙两种糖果的售价；
(2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案．
【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元
(2)2
【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可；
（2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可．
【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，
由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
42．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位．
(1)两种游船每艘分别有多少个座位；
(2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位
(2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可；
（2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，
由题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
，
答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位；
（2）设需租用型船艘，租用型船艘，
由题意得，，
，
又均为非负整数，
或或，
共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船．
43．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
(1)求豆沙粽和肉棕的单价．
(2)端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
(3)端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
【答案】(1)豆沙粽的单价是4元，则肉粽的单价是8元
(2)豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
(3)m的值为15或9
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，根据某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙粽和96元的肉粽，肉粽比豆沙粽多2个．列出分式方程，解方程即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）根据A，B两种包装的销售总额为3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
（3）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值为15或9．
44．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？
根据以上信息，解答下列问题．
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______．
(2)小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________．
(3)请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】(1)，
(2)，
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）根据题干信息设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列出方程即可；
（2）根据题干信息设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，列出方程即可；
（3）根据解析（1）列出的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得：
；
故答案为：；
（2）解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得：
；
故答案为：；
（3）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得：
；
解得：，
经检验得：是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运产品．
45．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务．
(1)在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？
(2)在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）
甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示）
乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由．
【答案】(1)完成第一项任务实际用了2天
(2)，
(3)，理由见解析
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键．
（1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可；
（3）两个代数式作差得，利用a、b取值判断出，进而得到．
【详解】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务，
由题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：完成第一项任务实际用了2天；
（2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天），
乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天），
故答案为：，；
（3）解：，理由为：
，
∵a、b都为正数，且，
∴，，，
∴，
∴，则．化简：．
解：原式………………第一步
………………第二步
．………………第三步
解：……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
解得
∴原方程的解是
小迪
解：去分母，得
去括号得
合并同类项得
解得
经检验，是方程的增根，原方程无解
方案设计
材料一
随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力．
材料二
某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件．
材料三
高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案：
方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变．
方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变．
问题解决
任务一
求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少．
任务二
若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量．
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
芳芳妈妈
10
15
135
媛媛妈妈
15
10
115