浙教版2025年七年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题04因式分解(考题猜想，11大题型)(学生版+解析)

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题型一 选用合适的方法因式分解
题型二 探究因式分解错误原因
题型三 利用因式分解解决整除问题
题型四 利用十字相乘法因式分解
题型五 利用分组分解法因式分解
题型六 已知因式分解的结果求参数
题型七 因式分解在有理数简算中的应用
题型八 利用因式分解求代数式的值
题型九 与因式分解有关的新定义问题
题型十 与因式分解有关的阅读理解问题
题型一 选用合适的方法因式分解
1．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
(1) ；
(2)．
3．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解：
(1)
(2)
4．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
题型二 探究因式分解错误原因
5．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）下面是乐乐同学把多项式分解因式的具体步骤：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
(1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________．
(2)请给出这个问题的正确解法．
6．（2023七年级下·浙江·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算．
甲演算的过程：
．
乙演算的过程：
．
他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案．
7．（2025·宁夏银川·一模）因式分解：
小刚的解题过程如下：
第一步
……第二步
……第三步
①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）；
②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误；
③请用小刚的思路给出这道题的正确解法．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学对多项式进行因式分解的过程如下：
设，原式．
(1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果；
(2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解．
题型三 利用因式分解解决整除问题
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于任意自然数是否能被24整除？
10．（2023·河北廊坊·一模）发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
(1)的结果是3的几倍？
(2)设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除．
延伸：
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由．
11．（21-22八年级下·甘肃兰州·期中）通过计算说明能被整除．
题型四 利用十字相乘法因式分解
12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料：
将分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)；
(2)；
13．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）【学习材料】十字相乘法
对于形如的关于x、y二次三项式进行因式分解时，把项系数a分解成两个因数，的积，即，把项系数c分解成两个因数，的积，即，并使正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而，
而对于形如的关于x、y的二元二次式也可以用两次十字相乘法来分解．如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果，，；即第1、2列、第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则：则原式
例：分解因式：
解：如图3，其中，，，而，，，
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)通过十字相乘法分解因式得，则______ ，______ ．
(2)分解因式：______ ；
______ ；
(3)若且，求代数式的值．
题型五 利用分组分解法因式分解
14．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）在“因式分解探究性学习” 中，甲同学进行了以下因式分解：
（分成两组）
（直接提公因式）
我们发现，要将多项式分解因式，可以先把它的四项分成两组，分别进行因式分解得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
(1)尝试填空： ；
(2)解决问题：已知，求的值；
(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
15．（2024七年级下·浙江·专题练习）因式分解：．
16．（2023八年级上·全国·专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
17．（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
；
解：原式 解：原式

． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式
＝____________
②因式分解：；
(2)已知，且，求的值．
题型六 已知因式分解的结果求参数
18．（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值．
19．（21-22七年级上·浙江温州·期中）仔细阅读下面倒题．解答问题：
例题：已知二次三项式，分解因式后有一个因式是（x+3）．求另一个因式以及m的值．
解：方法：设另一个因式为（x+n），
得＝（x+3）（x+n），
则．
∴，解得．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
仿照以上方法解答：已知二次三项式分解因式后有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及a的值．
20．（21-22九年级下·浙江宁波·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．
题型七 因式分解在有理数简算中的应用
21．（21-22八年级上·全国·课后作业）简便计算：
（1）；
（2）；
（3）．
22．（20-21七年级下·浙江·期末）简便计算
（1） （2）
23．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：．
题型八 利用因式分解求代数式的值
24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
25．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式： ；
(2)从图3可知，因式分解： ；
(3)结合图4，已知，，求的值．
26．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知a、b、x、y满足，，求：
(1)；
(2)．
题型九 与因式分解有关的新定义问题
27．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
28．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若定义一种运算：，如：．
(1)计算：．
(2)将（1）计算所得的多项式分解因式；
(3)若，求（1）中计算所得的多项式的值．
29．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
30．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）定义新运算：．
例如：，．
(1)计算；计算；
(2)已知，，说明：的值与m无关；
(3)已知，记，，试比较M，N的大小．
题型十 与因式分解有关的阅读理解问题
31．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边满足，判断的形状并说明理由．
32．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
例如：．
利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．
(1)因式分解：
①．
②．
(2)利用因式分解求方程的解．
33．（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
34．（2023七年级下·江苏·专题练习）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：利用这个式子可以将某些二次项系数为的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数这是一个型的式子，∴，∴
(1)填空：式子的常数项_______，一次项系数___________，分解因式______．
(2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______．
题型十一 因式分解的应用
35．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
(1)观察老师的演算后，你认为___________同学的想法是对的；
(2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
(3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
36．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小长方形，且．（以上长度单位：）
(1)用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______
(3)若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
37．（22-23八年级上·吉林长春·期末）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状．
38．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）【问题提出】如何分解因式：？
【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究：
甲同学：
乙同学：
【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：
（1）分解因式：；
（2）已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图是一块长方形试验田，已知长为，长为，当时，长方形试验田的面积为，当时，长方形试验田的面积为(，均为正整数)，且满足，请求出和的值．
39．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．

(1)当，时，求阴影部分的面积；
(2)用含，的代数式表示阴影部分的面积；
(3)小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
40．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）【学习材料】拆项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解．
例1因式分解：
解：原式
例2因式分解：
解：原式
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)运用拆项法因式分解：；
(3)化简，并求该式的最小值．
分组
组内分解因式
整体思想提公因式