浙教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)期末必刷题03压轴题(19题型61题)(学生版+解析)-浙8

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题型一 与二次根式有关的规律探究问题
题型二 多边形内角与外角综合
题型三 构建三角形中位线求解
题型四 与平行四边形有关的动点问题
题型五 利用平行四边形的性质与判定求解
题型六 平行四边形性质与判定的应用
题型七 与平行四边形有关的折叠问题
题型八 与特殊平行四边形有关的折叠问题
题型九 利用特殊平行四边形的性质与判定求解
题型十 求特殊四边形在坐标系中的坐标
题型十一 四边形综合
题型十二 中点四边形
题型十三 十字架模型
题型十四 半角模型
题型十五 与特殊平行四边形有关的动点问题
题型十六 与特殊平行四边形有关的最值问题
题型十七 反比例函数与几何综合
题型十八 与反比例函数有关的最值问题
题型十九 与反比例函数有关的存在性问题
题型二十 画反比例函数图像
题型一 与二次根式有关的规律探究问题
1．观察下列式式子的化简过程：
①；
②；
③；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求的值．
2．观察下列一组等式．解答后面的问题：
；
．
(1)化简：_____，_____（n为正整数）．
(2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
__________．
3．观察下列各式的化简过程
①
②
③
(1)写出①式的具体化简过程；
(2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________；
(3)利用上面的规律计算：．
题型二 多边形内角与外角综合
4．问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
5．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数；
②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想．
(2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数．
6．发现：如图1，在有一个“凹角”边形 …中（为大于3的整数），．
验证：
（1）如图2，在有一个“凹角”的四边形中，证明：．
（2）如图3，有一个“凹角”的六边形中，证明；．
延伸：
（3）如图4，在有两个连续“凹角和”的四边形 ……中（为大于4的整数），．
题型三 构建三角形中位线求解
7．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，．
【用数学的眼光观察】
（1）求的度数．
【用数学的思维思考】
（2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数．
8．阅读下面材料，完成相应的任务．
任务：
(1)上述材料中的依据是指：_______．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：．
9．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接．
(1)点的坐标为______；
(2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
题型四 与平行四边形有关的动点问题
10．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
11．如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
12．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？
题型五 利用平行四边形的性质与判定求解
13．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
14．如图，是等边三角形内任一点．过点作、、，分别交于点．求证：．
15．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取，的中点E，F；
乙方案：作于点E，于点F．
请回答下列问题：
(1)你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ．
(2)如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．
题型六 平行四边形性质与判定的应用
16．问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
17．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
(1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
(2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状．
18．（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

题型七 与平行四边形有关的折叠问题
19．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．

(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
20．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）连接，求证：．
21．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
题型八 与特殊平行四边形有关的折叠问题
22．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点．
(1)如图1，当平行四边形是矩形时：
①连接，求证：四边形为菱形：
②如图2，若，当点与点重合时，______；
(2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度．
23．人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘．
(1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由；
(2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：；
(3)如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围．
24．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．
(2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示．
图中 ， ，图中 ．
点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
25．【问题提出】
（）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______；
【问题解决】
（）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型九 求特殊四边形在坐标系中的坐标
26．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由．
27．定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．
(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是______（填序号）：
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N：
①如图，点C在第二象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值；
②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．
28．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．
(1)求证：；
(2)求的度数，并写出点的坐标；
(3)当为何值时，△为等腰三角形？
(4)探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
29．如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．
(1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______；
(2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______；
(3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______．
题型十 四边形综合
30．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则 ；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则 ．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
31．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
32．问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
题型十一 中点四边形
33．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______．
(2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论．
(3)已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数．
34．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
35．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
题型十二 十字架模型
36．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长．
37．综合与实践
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
题型十三 半角模型
38．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
39．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．
（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
题型十四 与特殊平行四边形有关的动点问题
40．如图，在菱形中，，点P在对角线上（不与点B，D重合)，点E、F分别在边，上，且．
（1)如图1，若，求证：．
（2)如图2，点P在线段上运动时，设．
①若四边形的面积为，求x的值．
②探究x与y的数量关系．
41．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ；
(2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）；
(3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
42．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．
题型十五 与特殊平行四边形有关的最值问题
43．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．
44．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
45．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
题型十六 反比例函数与几何综合
46．如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上，
(1)求直线的解析式；
(2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由．
47．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点．
(1)求的面积．
(2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标．
(3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积．
48．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．
49．如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连接，，，．

(1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整：
∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点，
∴___________．
同理．
∴四边形是平行四边形．
(2)问题探究：
①是否可能为矩形？请说明理由．
②是否可能为菱形？请说明理由．
(3)当的面积为18时，求点的坐标．
题型十七 与反比例函数有关的最值问题
50．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
51．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
52．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，且的面积为．
(1)__________，__________；
(2)若直线与反比例函数的图像交于两点，求不等式的解；
(3)过原点O的直线l与反比例函数的图像交于P、Q两点，试根据图像直接写出线段长度的最小值．
53．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值．
题型十八 与反比例函数有关的存在性问题
54．如图，直线l经过点，且与双曲线交于点，过点作x轴的平行线分别交曲线和于M，N两点．
(1)求m的值及直线l的表达式；
(2)是否存在实数p，使得？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
55．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．

(1)求的值．
(2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．
(3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
56．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
57．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长．
(3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
58．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
题型十九 画反比例函数图象
59．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
(1)类比反比例函数可知，函数的自变量x的取值范围是 ，这个函数值y的取值范围是 ．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象，并直接写出方程有2个实数根时，a的取值范围．
(3)过点作一条直线与函数的图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
60．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)结合函数的图象，解决问题：
①方程的解为：______
②当函数值时，x的取值范围是：______
61．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决．
例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长．
解：如图2，取的中点P，连接，．
点E、F分别是，的中点，
，，，．（依据）
……
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，，
，分别为，的中点，
______
分别为，的中点，
．
同理： ，
四边形是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和．
四边形ABCD
菱形
矩形
正方形
平行四边形EFGH
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．
甲小组同学的证明思路如下：
由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下：
由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
x
…
0
2
3
…
y
…
m
0
n
2
…
R
…
3
4
5
6
…

…
2
1.5
1.2
1
…

…
3
m
2.2
2
…