浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训01第1-3章压轴题(浙江精选归纳)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训01第1-3章压轴题(浙江精选归纳)(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·浙江·八年级阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
3．（2023春·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
4．（2023春·八年级单元测试）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：______；
(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
7．（2021春·浙江台州·八年级统考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
9．（2019·浙江杭州·九年级）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
10．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：，其中x＝9.
小明同学是这样计算的：
解：＝x－1＋x－10＝2x－11．
当x＝9时，原式＝2×9－11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：＝x－1＋10－x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
11．（2023春·浙江·八年级阶段练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
12．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
13．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有: ．
问题解决：
(1)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
(2)若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；
(3)设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．
①的值等于______________；
②设，求y关于x的函数关系式．
14．（2021春·浙江·八年级期末）如图所示，中，．
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发
①经过几秒，的面积等于？
②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
（2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？
15．（2020秋·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
16．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若实数m，n满足．求的最大值．
18．（2023春·浙江·八年级阶段练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
（1）用含的代数式表示；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
19．（2021春·浙江金华·八年级校考期中）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，是和的边长，显然，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否为“弦系一元二次方程”：______（填“是”或“否”）；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
20．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得： 请类比以上做法，回答，
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1） 填写下表：
（2） 写出第层所对应的点数；
（3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?
21．（2019·浙江杭州·九年级）设关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的值；
（2）求证：，且；
（3）若，试求的最大值．
22．（2021春·浙江杭州·八年级统考期末）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2的不变值是 ，A＝ ．
（2）说明代数式3x2+1没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
23．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．
（1）食堂每天需要准备多少份午餐？
（2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由．
25．（2023春·八年级单元测试）某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
(1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
(3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
26．（2018·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
27．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
28．（2022秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
甲校
乙校
平均数
87
87
中位数
87.5
b
方差
79.4
众数
c
95
用餐时间
人数
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组
100
0.1
第二组
n
第三组
200
0.2
第四组
m
0.25
第五组
150
0.15
第六组
50
0.05
第七组
50
0.05
第八组
50
0.05
合计
1
特训01 第1-3章 压轴题 （浙江精选归纳）
一、解答题
1．（2023春·浙江·八年级阶段练习）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【解析】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
3．（2023春·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【解析】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（2023春·八年级单元测试）先阅读下列解答过程：
形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即， ，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，，
由于，，即，，
所以．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：______；
(2)化简：（请写出计算过程）；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1；
（2）将转化为：，即可求解；
（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．
【解析】（1）解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
故答案为：；
（2）原式
．
（3）原式
．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【解析】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）①，
②；
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
7．（2021春·浙江台州·八年级统考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【解析】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
8．（2023春·浙江·八年级专题练习）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【解析】解：（1）；
；
（2）；
（3）==．
【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
9．（2019·浙江杭州·九年级）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【解析】解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
10．（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：，其中x＝9.
小明同学是这样计算的：
解：＝x－1＋x－10＝2x－11．
当x＝9时，原式＝2×9－11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：＝x－1＋10－x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
【答案】小荣同学的计算结果是正确的；小明同学错在对的化简.
【解析】试题分析：根据二次根式的性质=-a（a＜0），可判断小明同学的计算是错误的.
试题解析：小荣同学的计算结果是正确的；
小明同学错在对的化简，应为=10-x.
11．（2023春·浙江·八年级阶段练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【解析】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
12．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121
(2)mn＝1
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解析】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
13．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程的两根分别为，则有: ．
问题解决：
(1)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
(2)若三点均在函数（k为常数且）的图象上，且这三点的纵坐标构成“友好数”，求实数t的值；
(3)设三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，是抛物线与x轴的一个交点的横坐标．
①的值等于______________；
②设，求y关于x的函数关系式．
【答案】(1)4，6，9可以构成“友好数”，理由见解析
(2) 或
(3)① 0， ②
【分析】（1）根据 “友好数”的定义即可得出4，6，9可以构成“友好数”；
（2）由y1，y2，y3构成“友好数”，分三种情况讨论求解即可；
（3）①由三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根得，进而求得a+b+c=0；
②由①得，从而有，进而求得求y关于x的函数关系式．
（1）
解：∵62＝4×9，
∴4，6，9可以构成“友好数”；
（2）
解：∵y1，y2，y3构成“友好数”，
∴有三种可能：
①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解．
②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得．
③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得．
∴满足条件的 或 ；
（3）
①∵三个实数是“友好数”且满足，其中是关于x的一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∵是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，
∴a+b+c=0，
故答案为0；
②由①得 a+b+c＝0， 两边同除以a，得
，
∴，
∴，
即函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系以及新定义，正确理解新定义是解题的关键．
14．（2021春·浙江·八年级期末）如图所示，中，．
（1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发
①经过几秒，的面积等于？
②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
（2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？
【答案】（1）①3秒或5秒；②不能，理由见解析；（2）s或5s或s
【分析】（1）①设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于15cm2．得出方程，解之即可；
②根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
（2）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．
【解析】解：（1）①设经过x秒后，△PBQ的面积等于15cm2．
由题意得：，
解得：x=3或x=5，
答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．
②不能，
理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，
∵S△ABC==48（cm2），
∴，
解得：此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0＜m＜6，
依题意得：，
解得：m=或（舍去），
∴m=；
②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时6＜n＜8，
依题意得：，
解得：n1=n2=7；
③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k＞8，
依题意得：，
解得：k=（舍去）或，
∴k=，
综上所述：经过s或5s或s，△PBQ的面积为1cm2．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想、正确列出方程是解题的关键．
15．（2020秋·浙江·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）设方程的两根是，，得出，，代入，，求出其结果是，求出即可；
（2）得出，，把变形为，代入后得出，推出，求出即可．
【解析】解：（1）证明：设方程的两根是，，
则，，
，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，
．
【点睛】本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α1-2）（β1-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．
16．（2021·浙江·九年级专题练习）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【解析】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读如下材料，完成下列问题：
材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．
材料二：对于实数a，b，若，则．
完成问题：
（1）求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若实数m，n满足．求的最大值．
【答案】（1）-5；（2）（3）
【分析】（1）按照材料一配方即可求最值；
（2）把原式化成，求最小值即可；
（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．
【解析】解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．
（2），
当取最小值时，原式最大，
由（1）可知，最小值为2，
此时的最大值为；
（3）∵，
∴，
，
或，
或，
=，
最大值是，的最大值为；
或=，
最大值是，的最大值为；
综上，的最大值为
【点睛】本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．
18．（2023春·浙江·八年级阶段练习）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元．
（1）用含的代数式表示；
（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元．
①求2017年每种套餐的销售量；
②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值．
【答案】（1）（或）；（2）①2017年项套餐销售量为万份，2017年项套餐销售量为万份；② .
【分析】（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案；
②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可．
【解析】解：（1）根据题意，B套餐卖出份，则
，
∴（或）；
依题意得，2017年项套餐销售量为：万份，
项套餐销售量为：万份，
根据题意得：
解得：
所以2017年项套餐销售量为（万份）
2017年项套餐销售量为(万份）
依题意可知，
2017年项套餐每份盈利元，
2018年项套餐每份盈利元，
2019年项套餐每份盈利元，
所以根据题意得：

设，则
解得：
(不符合题意，舍去）
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题．
19．（2021春·浙江金华·八年级校考期中）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，是和的边长，显然，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程是否为“弦系一元二次方程”：______（填“是”或“否”）；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
【答案】（1）是；（2）证明见讲解；（3）1
【分析】（1）利用a2+b2＝c2判定即可；
（2）只要证明△≥0即可解决问题．
（3）当x＝﹣1时，有ac+b＝0，即a+bc，由2a+2bc＝6，推出c＝2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝2，由此即可解决问题．
【解析】解：（1）因为，b，a2+b2＝c2，
所以c，
所以，
故方程x2x0是“弦系一元二次方程”．
故答案为：是
（2）由题意，得△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
即△≥0，
∴关于x的“弦系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有ac+b＝0，即a+bc，
∵2a+2bc＝6，即2（a+b）c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝2，
∴S△ABCab＝1．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得： 请类比以上做法，回答，
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1） 填写下表：
（2） 写出第层所对应的点数；
（3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?
【答案】（1）；（2） ；（3） 层；（4） ；（5） 层．
【分析】题干：根据倒序相加法计算即可；
（1）用该层对应的点数18，加上前一格中所有层的总点数19即可得到答案；
（2）列出每一层上的点数得到规律即可得到答案；
（3）根据（2）得到的公式列方程解答；
（4）将前面各层上的点数相加得到，根据（1）的计算方法求出答案；
（5）根据（4）得到的公式列方程解答即可.
【解析】题干：设①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
（1） 第四列应填：18+19=37；
（2）第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6=，
第3层上的点数为6+6=，
第4层上的点数为6+6+6=，
，
第n层上的点数为，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 层共 个点；
（4）
=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六边形点阵图的第层的总点数是个.
【点睛】此题考查图形类规律的探究，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，正六边形的性质，观察并运算得到点阵图的计算规律，并运算高斯速算法进行计算是解题的关键.
21．（2019·浙江杭州·九年级）设关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的值；
（2）求证：，且；
（3）若，试求的最大值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）取最大值．
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，，再将原式转化为代入即可得解；
（2）一元二次方程根的判别式大于等于0，以及两个和与积的关系判断即可；
（3）根据根与系数的关系，结合（1）答案以及已知不等式求解即可．
【解析】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
∴
（2）证明：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=1-4a≥0,
∴，即，
∴，，
由此可知：且
∴且
命题得证．
（3）解：由题，
当时，取最大值，
又∵，
∴满足条件．
即当时，取最大值．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
22．（2021春·浙江杭州·八年级统考期末）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2的不变值是 ，A＝ ．
（2）说明代数式3x2+1没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
【答案】（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1
【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；
（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，
即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案为﹣1和2；3．
（2）依题意，得：3x2 +1＝x，
∴3x2﹣x+1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．
（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，
∴b1＝﹣3，b2＝1．
答：b的值为﹣3或1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
23．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表
(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
【答案】(1)
(2)乙校较好，理由见解析
(3)甲校成绩在90分及以上的约有80人
【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值；
（2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可；
（3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可；
【解析】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30%
A的圆心角度数为36°
∴A的占比为×100%=10%
∴B的占比=1-10%-30%-40%=20%
∴a=20
又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人
∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89
∴b==88.5
根据方差的公式，可算出82.8
观察甲的数据，可发现众数c为87.
（2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校；
从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩；
从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可）
（3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%；
∴（人）
答：甲校成绩在90分及以上的约有80人．
【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键．
24．（2023春·浙江·八年级专题练习）某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．
（1）食堂每天需要准备多少份午餐？
（2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由．
【答案】（1）460份；（2）可行，见解析，
【分析】（1）根据扇形图的数据，可以直接求出食堂需准备午餐份数；
（2）先估计出参加演练的100名职员用餐时间的平均数为19min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min，根据这个数据对第一批和第二批的排队取餐、用餐时间分别进行预估，即可解答本题．
【解析】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
解法二：500－500×8%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
（2）解：①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为：
=19（min），
参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）；
可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19 min，
取餐职员取餐时间平均为0.1 min；
根据表格，可以估计第一批职员用餐19 min后，
空出的座位有：160×60%＝96（个）.
而第二批职员此时开始排队取餐，
取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）；
根据表格，可以估计：第一批职员用餐19 min后，剩下的职员在6 min后即可全部结束用餐，
因为9.6＞6，
所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位；
②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐；
可设计时间安排表如下：
【点睛】本题主要考查的是数据的统计与分析，解题的关键是读准题意，认真分析每批次人取餐和用餐时间．
25．（2023春·八年级单元测试）某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
(1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
(3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
【答案】(1)四##0.15##250##72°
(2)3
(3)8.8元
【分析】（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组；
（2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨；
（3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数．
【解析】（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，
（人），
（人）
，
（人），
∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501，
∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组；
故答案为，四；0.15；250；72°；
（2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，
∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨；
（3）（元）．
答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元．
【点睛】本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键．
26．（2018·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒.
(1)求AD的长；
(2)当P、C两点的距离为时，求t的值；
(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t值，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
备用图
【答案】（1）12cm（2）（3）t的值为或或
【解析】（1）∵ AB=AC，AD⊥BC；
∴ BD=BC=5cm，且∠ADB=90．
∴ ．
即AD的长为12cm．
（2）AP= t，PD="12" -t，
又由，得．
解得，．
（3）假设存在t，使得S△PMD＝S△ABC．
① 若点M在线段CD上，即时，PD=12－t，DM=5－2t；
由S△PMD＝S△ABC，即
解，得 （舍去）； ． ………………………… 8分
② 若点M在射线DB上，即．
由S△PMD＝S△ABC 得
解，得；. ………………………… 10分
综上，存在t的值为或或，使得S△PMD＝S△ABC．（11分）
（1）根据勾股定理求得AD的长；
（2）表示出PD=12-t，S△PDC=15，得 (12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假设存在t，使得S△PMD= S△ABC．分两种情况进行讨论：①若点M在线段CD上，②若点M在射线DB上，从而求得t的值；
27．（2022春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．
【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
【解析】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0，
∴＝3或＝4，
则AB＝3，BC＝4，
(2)由题意得，
∴，(舍去)，
则t＝4时，AP＝．
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ．
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
，，
∴PC＝2PQ＝，
∴(秒)，
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．
28．（2022秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)求线段的长．
(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；
(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2),,
(3)当时，点恰好落在内部(不含边界)
【分析】（1）勾股定理直接求解即可；
（2）分三种情形，分别讨论，即可求解；
（3）当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，因为点为的中点，由（2）可知，，根据等面积法求得，进而得出, , ，根据轴对称的性质得出，，继而求得，在中，，即可求解．
【解析】（1）解：∵点的坐标为，点B的坐标是，
∴，
∴;
（2）当时，如图，过点作轴于点，轴于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设,
在中，，
在中，，
∴
即
解得：，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，
在中，，
解得：，
即，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得：，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或或，
（3）如图，当在上时，过点作轴于点，过点作，过点作轴于点，
∵点为的中点，
由（2）可知，，
则，
∵， ，
∴，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵对称，∴，，
∴，
即，
∴，
在中，
∴
解得（舍去）或
当点运动到点，此时重合，此时，解得，
∴当时，点恰好落在内部(不含边界) ．
【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
甲校
乙校
平均数
87
87
中位数
87.5
b
方差
79.4
众数
c
95
用餐时间
人数
时间
取餐、用餐安排
12:00—12:19
第一批160名在食堂用餐的职员用餐；
仅在食堂取餐的140名职员取餐
12:19—13:00
第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐
13:00
食堂进行消杀工作
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组
100
0.1
第二组
n
第三组
200
0.2
第四组
m
0.25
第五组
150
0.15
第六组
50
0.05
第七组
50
0.05
第八组
50
0.05
合计
1