湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了函数的大致图象为，若，则sin的值为，设，，，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，且与共线，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知复数为虚数单位)，则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
5．若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则sin的值为（ ）
A．B．C．－D．－
8．设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
10．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为0.4℃
B．乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数相等
C．乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D．甲同学体温的第60百分位数为36.4℃
11．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在某一样本的频率分布表中，第三组的频数和频率分别为24和，则该样本的样本容量为
13．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时， .
14．若函数存在唯一极值点，则实数m的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数，求
（1）求函数的最小正周期；
（2）当，求函数的值域．
16．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若为的垂心，，求面积的最大值.
17．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

(1)求证：；
(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
18．建造一个容积为、深为的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为元和元．
（1）求总造价（单位：元）关于底边一边长（单位：）的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）如果要求总造价不超过元，求的取值范围；
（3）求总造价的最小值．
19.立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验（1）给出两块相同的边长都为8cm的正三角形薄铁片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器.
（1）试求图1剪拼的正三棱锥体积的大小；
（2）设正三棱柱底面边长为x，将正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域，并求其最值.
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明.
数学答案
1．C
【分析】直接由交集的定义求解即可.
【详解】集合，，
所以，.
故选：C.
2．D
【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解,注意集合B中元素的互异性．
【详解】由题意得，所以由，得，解得且，
所以实数的取值范围是.
故选:D．
3．B
【分析】先求出和，利用与共线，即可解出x.
【详解】因为所以，.
因为与共线，所以，解得：.
故选：B
4．A
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的几何意义，即可判断和选择.
【详解】，则在复平面内对应的点为；
点位于第四象限的充要条件是，即；
故“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.
故选：A
5．B
【分析】先分析出和的单调性，依题意列不等式组，即可解出m的范围.
【详解】在R上单调递增，在上单调递增.
要使函数是定义在R上的增函数，
只需，解得：或.
所以实数m的取值范围是.
故选：B
6．D
【分析】先分析的奇偶性，然后根据的取值正负即可判断出符合的图象.
【详解】因为，所以定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，排除A、B，
又因为当时，，排除C.
故选：D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7．D
【分析】用两角差的正弦公式和二倍角公式化简得，
再两边同时平方即可求出答案.
【详解】，则，
，
因为
所以，两边同时平方得：，所以
.故选：D.
8．C
【分析】由指数函数和幂函数的单调性分别判断可得出大小关系.
【详解】因为，，所以，
故选:C.
【点睛】本题考查指对幂函数的图象与性质,考查学生分析解决问题的能力与数形结合思想,属于中档题.
9．AD
【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；
令解得，故C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.
故选：AD
10．ABC
【分析】根据给定的折线图，逐一分析判断各个选项即可作答.
【详解】观察折线图知，甲同学体温的极差为0.4℃，A正确；
乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
乙同学体温的众数为36.4℃，中位数为36.4℃，平均数℃，B正确；
乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2℃，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C正确；
将甲同学的体温从小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因，则甲同学体温的第60百分位数为36.5℃，D不正确.
故选：ABC
11．ABD
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
12．ABC
【分析】求得与位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项B；求得与位置关系判断选项C；求得平面与平面位置关系判断选项D.
【详解】在中，因为，分别为，的中点，
所以．又，所以，A正确．
在中，因为，分别为，的中点，
所以．因为平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．又因为，
所以平面平面，B正确．
因为，，所以，C正确．
取的中点，连接，，则是二面角的平面角．
设正方体棱长为a，则，
又，则，所以平面与平面不垂直．
又平面平面，所以平面与平面不垂直，D错误．
故选：ABC．
13．
【分析】用第三组的频数除以该组的频率即可得解.
【详解】因为第三组的频数和频率分别为24和，
所以该样本的样本容量为.
故答案为：.
15．
【分析】设，，利用位置关系，得到，把的面积表示出来，
利用基本不等式求出最小值及取最小值时求出.
【详解】设，，则，其中.
∵底面，∴.又，，∴.
由勾股定理知，.
∵，∴，
即，整理得，即.
过点作于点，再过点作于点，连接.
∵底面，平面，∴平面底面，
又平面底面，平面，
∴平面，则.
又，，∴平面，
∴，即为的边上的高.
在中，，
∴，∴，
，
把代入上式，化简得：，
当且仅当，时，等号成立，此时的面积取得最小值，
所以，
又，所以.
【点睛】立体几何中的最值问题一般涉及到距离、角度、面积、体积等四个方面，解决此类问题一般从三个方面思考：
①利用传统方法活空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
②根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况取得最值；
③将几何体平面化，如利用展开图，在平面图形中直观求解.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）应用二倍角正余弦公式及辅助角公式有，即可求最小正周期；
（2）由题设得，再由正弦函数的性质求值域即可.
【详解】，
（1）最小正周期为；
（2）由知：，故.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得，由余弦定理即可求解，
（2）根据垂直关系可得，进而在中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值.
【详解】（1）由题可得，
结合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）设边，上的高分别为，则为与的交点，
则在四边形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
则，即，
当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）先根据同角三角函数关系求余弦值，再根据商数关系求正切值；
（2）根据两角和余弦公式展开代入即得.
【详解】（1）因为，且，所以，
所以
（2）
19．(1)证明见讲解；
(2)当点为中点时，四棱锥的体积为，理由见详解.
【分析】（1）过点作，垂足为，由面面垂直性质定理及线面垂直判定定理，即可证明；
（2）设点到平面的距离为，由棱锥的体积公式求出，与到平面的距离比较可得出点为中点时，符合题意.
【详解】（1）过点作，垂足为，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当点为中点时，四棱锥的体积为，理由如下：

过点作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
由（1）可知，，
所以，即，所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以，即到平面的距离为，
在三棱柱中，，
由（1）可知，平面，所以平面，
又，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
所以到平面的距离为，即，
故为中点，所以为中点时，四棱锥的体积为.
20．（1）；（2）时，总造价不超过元；（3），总造价最小为1760元．
【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；
（2）解不等式可得；
（3）由函数单调性可得最小值．
【详解】（1）底边一边长，另一边长为，
∴，
∴；
（2），解得；
时，总造价不超过元；
（3）记，设，则，
∴，即，递减，同理时，递增，
所以函数在上递减，在上递增，
∴时，．
∴，总造价最小为1760元．
【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．