浙江省宁波中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省宁波中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为（ ）
A．6B．3C．D．
2．已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若则；
②若则；
③若则；
④若是异面直线，则．其中真命题是（ ）
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
3．如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
4．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③平面；④平面.
其中恒成立的为（ ）
A．①③B．③④C．①②D．②③④
5．如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
6．在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影长分别是和，若，则
A．B．
C．D．
8．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．，是不在平面内的任意两点，则（ ）
A．在内存在直线与直线异面
B．在内存在直线与直线相交
C．存在过直线的平面与垂直
D．在内存在直线与直线平行
10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．直线与平面所成的角为定值
C．二面角的大小为定值
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5 cm和3cm，侧面与上面的夹角为，则该“米升子”模型“平升”的容积为
13．如图,二面角的大小是60°,线段.,与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
14．已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 ．
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.
16．如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．【答案】A
【分析】将直观图还原成平面图，根据斜二测画法原理求出平面图形的边长，即可计算面积．
【详解】直观图还原成平面图，则，
所以的面积为，
故选A．
2．【答案】D
【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可确定真命题的编号.
【详解】逐一考查所给的命题：
①由线面垂直的性质定理可得若则α//β，该命题正确；
②如图所示的正方体中，取平面分别为平面，满足但是不满足α//β，该命题错误；
③如图所示的正方体中，取平面分别为平面，
直线分别为，满足但是不满足α//β，该命题错误；
④若是异面直线，由面面平行的性质定理易知α//β，该命题正确；
综上可得，真命题是①和④，本题选择D选项.
【思路导引】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：
（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；
（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.
3．【答案】B
【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8，
则直三棱柱的体积为4，故，
即，
又因为，
所以，故点A到平面的距离为.
故选B
4．【答案】A
【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以③恒成立；
设与交于点，则为底面正方形的中心，且，
由正四棱锥，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立.
故选A.
5．【答案】B
【详解】对于A，因为，，所以，
若，因为，，平面，平面，所以平面，
可得，这与矛盾，故A错误；
对于B，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
得，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以，故B正确；
对于C，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以与平面所成的角为，故C错误；
对于D，四面体的体积为，故D错误.
故选B.
6．【答案】D
【分析】取的中点，作交于点，由线面垂直的判定定理、性质定理可得就是直线与平面所成角，在中计算可得答案.
【详解】如图所示，取的中点为，连接，作交于点，
因为，且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，点为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以就是直线与平面所成角，
因为，
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】试题分析：由题意知，因为所以所以且所以故选D.
考点：1、线面角；2、正弦函数与余弦函数．
8．【答案】A
【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，
则，，，
，，，
所以，
故选A．
9．【答案】AC
【详解】由题意知，点，是不在平面内的任意两点，
对于A 中，根据异面直线的定义，可得平面内存在直线与直线异面，所以是正确的；
对于B中，若直线平行于平面时，可得在内不存在直线与直线相交，所以不正确；
对于C中，过作平面的垂线，则由直线和直线确定的平面垂直与平面，所以是正确的；
对于D中，当直线与平面相交时，在内不存在直线与直线平行，所以不正确.
故选AC
10．【答案】AC
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选AC.

11．【答案】ACD
【详解】如图所示，
对于选项A，由三垂线定理可知且
故有面,面,则，故A正确；
对于选项B，如下图所示，因为面,故面,
所以为直线与平面所成的角，是两个动点，
故不是定值，故B错；
对于选项C，因为面,故面,
所以二面角的平面角为,始终为定值，故C正确；
对于选项D， 面积始终不变，
三角形,因为面，
故三棱锥的体高为，
，故D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】取底面和平面的中心，，
取和的中点，，连接，，，，
过点作平面，
因为为正四棱台，所以点在上，
如下图所示：

因为为正四棱台，四边形的边长为3，四边形的边长为5，侧面与上面的夹角为，
所以，，，
，，
又平面平面，平面，平面，
所以侧面与上底面所成角的平面角为，故，
由平面，平面，所以，
所以，
故正四棱台的高为，
故"平升"的容积为.
13．【答案】
【详解】过点A作平面β的垂线,垂足为C,
在β内过C作l的垂线，垂足为D,
连接AD,由三垂线定理可知AD⊥l,
故ADC为二面角α-l-β的平面角,为60°,
又由已知,ABD=30°,
连接CB,则ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2,则AC=,CD=1
AB==4
∴sinABC==；
故答案为．
考点：本题主要考查二面角的计算．
点评：基础题,本解法反映了求二面角方法的“几何法”—“一作、二证、三计算”．
14．【答案】24
【详解】如图，
依题知，，故，，
又，故平面，
又平面，故，
所以三棱锥中，PD ，PE ，PF两两垂直，且PE=PF=1，PD=2，
所以三棱锥P-DEF的外接球即为以PD，PF，PE为邻边的长方体的外接球，
故外接球半径R满足，外接球表面积为：，
因为三棱锥的表面积为正方形ABCD的面积，
故，，
设三棱锥的内切球半径为，故由等体积法得，得
故内切球表面积为，
所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为．
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）证明：在中，由题设，可得.
于是.
在矩形中，.
又，平面，
所以平面.
（2）证明：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故.
所以异面直线与所成的角的正切值为.
解法二：

由（1）可知，平面,平面，
所以平面平面，
作于M，交于点，
因为平面平面， 平面，
所以平面，
又平面，所以，
以M为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
，则.
所以异面直线与所成的角的正切值为
（3）

过点M做于E，连接.
因为平面，平面，所以.
又，因而平面，
又平面，所以
从而是二面角的平面角.
由题设可得，
，，
，，
，
于是在中，.
所以二面角的正切值为.
解法二：由（2）知，.
设平面PBD的一个法向量为，
则，即，
令，则，
所以 ，
又平面的一个法向量可以是.
由图知二面角的大小为锐角，
所以，则
所以二面角的正切值为.
16．【答案】（I）证明见解析；（II）.
【详解】试题分析：（I）连结，设与相交于点，连接，则为中点，根据中位线有，所以；（II）设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值.
试题解析：
证法1：连结，设与相交于点，连接，则为中点，
为的中点，∴
∴.
【证法2：取中点，连接和，
平行且等于，∴四边形为平行四边行
∴
，
∴，
同理可得
∴
又
∴.
（Ⅱ），∴
又，∴
又∴
法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.
则.
∴，
平面的一个法向量，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【法二：取的中点，连结，则
，故，∴
，∴
延长相交于点，连结，
则为直线与平面所成的角.
因为为的中点，故，又
∴
即直线与平面所成的角的正弦值为.】
【法三：取的中点，连结，则
，故，∴
，∴
取中点，连结，过点作，则，
连结，，
∴为直线与平面所成的角，
即直线与平面所成的角的正弦值为.】