浙江省宁波中学2024-2025学年高一下学期三月月考 数学试卷（含解析）

这是一份浙江省宁波中学2024-2025学年高一下学期三月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解.
【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，
所以由正弦定理得，
解得，
故选：A.
【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》
2. 若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简求得，结合复数的概念，即可求解.
【详解】因为，所以，则，
所以的实部为，虚部为，则的实部与虚部之和为.
故选：D.
3. 已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值.
【详解】在中，，，可得，
当点在上运动时，设，则，所以，
又因，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值.
当点在上运动时，设，则，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，
当时，取得最小值，
综上可得，的最小值是.
故选：A.
【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.
4. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形
B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解.
【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，
以、为邻边作平行四边形，则，显然，
因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即，
于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，，
而，因此有，从而得，
所以是等腰直角三角形.
故选：D
5. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑高度米.
故选：B.
二、多选题
6. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线和垂直的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：AB．
7. 在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量为D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，
即，即，由正弦定理，，
即，则为锐角，由，
解得，，A选项正确，
B选项：由A选项和题干可知，，
，故，B选项错误.
C选项：在方向上的投影向量为，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，则，C选项正确.
D选项：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D选项错误.
故选：AC
8. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（ ）
A. a可能是最大边B. b可能是最大边
C. a可能是最小边D. c可能是最小边
【答案】BCD
【解析】
【分析】应用正弦定理及两角和差公式化简，再结合诱导公式得出或计算判断即可.
【详解】由题意可得
所以
由正弦定理可得
所以
即
即
等价于
所以则或即
若则c是最大边，a，b可能是最小边；
若则b是最大边，a，c可能是最小边.
综上，选项B，C，D正确.
故选：
三、填空题
9. 已知单位向量，的夹角为，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律计算即得.
【详解】由单位向量，的夹角为，得，
所以.
故答案为：
10. 已知复数，满足，，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：.
11. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】或0
【解析】
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
四、解答题
12. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点.
（1）用，表示；
（2）求线段的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接可得解；
（2）根据转化法可得向量的模.
【小问1详解】
由已知，
且为的中点，
则四边形为平行四边形，为等边三角形，
即，
又为的中点，
则，
即；
【小问2详解】
由已知，，三点共线，
则，
又因为，，三点共线，则有，解得，
故有，
所以.
13. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求；
（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得.
（2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边.
（3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边，的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值．
【小问1详解】
由，得，则，即，
而，所以
【小问2详解】
由等面积法得：，即，
因此，，在中，由余弦定理得，
即，所以.
【小问3详解】
由平分，得，
在中，设，则，
在中，由正弦定理，得，则，
在中，由正弦定理，得，则，
得，故有．
在中，由正弦定理，得，则，
得代入式，可得，即．
由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”．
于是，．即的面积的最小值为．
【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题．