宁夏回族自治区银川一中2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份宁夏回族自治区银川一中2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，，则的值为（ ）
A．3B．4C．7D．15
2．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．如图所示，样本和分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9
5．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
6．某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．某市天国庆节假期期间的楼房认购量单位：套与成交量单位：套的折线图如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．成交量的中位数是
B．日成交量超过日平均成交量的有天
C．认购量越大，则成交量就越大
D．认购量的第一四分位数是
10．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则（ ）
A．圆台的高为B．圆台的侧面积为
C．圆台的体积为D．圆台的轴截面面积为
12．如图，正方体的棱长为4，是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）

A．平面被正方体截得截面为三角形
B．若，直线
C．若在上，的最小值为
D．若，点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共4小题）
13．某眼科医院为了了解高中学生的视力情况，利用分层抽样的方法从某高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了12人，高二年级抽取了15人，且高三年级共有学生540人，则该高中三个年级的学生总数为 人．
14．在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正弦值为 ．
15．甲､乙两支羽毛球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平均数为，方差为200，又已知甲､乙两队的队员人数之比为，那么甲､乙两队全部队员的方差等于 .
16．电路从A到上共连接着个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到连通的概率是 .

四、解答题（本大题共6小题）
17．在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.
18．如图所示，三棱柱，是的中点，是的中点．求证：
(1)//平面；
(2)平面//平面D.
19．新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.
(1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
(2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.
20．如图，四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，，是上一点且，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
21．某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间满分分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；
(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值不超过分的概率．
22．如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点．
(1)证明：；
(2)若，直线与直线所成角的余弦值为．
（ⅰ）求直线与平面所成角；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值.
【详解】由题设，则.
故选A.
2．【答案】C
【分析】根据空间中平面与平面、直线与平面的位置关系判断即可.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；
对于C，垂直于同一直线的两平面平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误.
故选C.
3．【答案】B
【分析】由平均数和标准差的概念判断即可.
【详解】由图可知，，又样本波动程度大于样本，所以.
故选B.
4．【答案】B
【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案.
【详解】因为事件与事件互为对立，所以，
因为事件与事件互斥，则.
故选B.
5．【答案】B
【分析】取的中点，连结,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大小．
【详解】取的中点，连结,在直三棱柱，因为点为的中点,
且，所以四边形为平行四边形，且，所以就是异面直线与所成的角．，可得，又，可以求出，在中，由勾股定理可求出，在中，由勾股定理可求出，显然是直角三角形，,所以.
故选B.
【关键点拨】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是．
6．【答案】C
【解析】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有个结果，至少选中一名女生有个结果，由此能求出至少选中一名女生的概率.
【详解】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有个结果，至少选中一名女生有个结果，所以至少选中一名女生的概率为.
故选C.
【思路导引】本题主要考查了组合的应用，古典概率的计算，考查了学生分类讨论的思想.
7．【答案】A
【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理可得：，
即，，
又，，故；由，解得，
由余弦定理，结合，可得，
即，解得，当且仅当时取得等号，
故的面积，当且仅当时取得等号，
即的面积的最大值为.
故选A.
8．【答案】C
【分析】依题意可得平面，即可得到，从而得到平面，又外接圆的直径即可直角三角形的斜边，即可得到即为三棱锥外接球的直径，从而求出外接球的体积.
【详解】因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，又，，平面，
所以平面， 又，所以外接圆的直径即可直角三角形的斜边，
又平面， ，所以即为三棱锥外接球的直径，
所以三棱锥外接球的半径，
所以外接球的体积.
故选C.
9．【答案】AC
【分析】根据统计图中数据，结合平均数、中位数和百分位数的定义求解．
【详解】由图中日成交量的数据，从小到大排序，
故可得中位数为，可知选项A错误；
由图中折线可知：日平均成交量，
日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故选项B正确；
由折线可知日认购量有增有减，与日期不是正相关关系，故选项C错误；
日认购量的数据从小到大排列为：91，100，105，107，112，223，276，
因为，所以认购量的第一四分位数是100，故选项D正确．
故选AC．
10．【答案】ACD
【分析】结合条件逐项分析即得.
【详解】∵事件A，B相互独立，且，，
∴，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】AB
【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，求出该圆台的高，从而根据侧面积公式，体积公式及圆台轴截面特点计算求解即可.
【详解】如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，
对于A，该圆台的高，A正确；
对于B，圆台的侧面积为，B正确；
对于C，圆台体积为，C错误；
对于D，圆台的轴截面面积为，D错误．
故选AB.
12．【答案】CD
【分析】过作交于，结合平面的基本性质找到截面判断A；取，结合，易得，在三角形中用勾股逆定理判断直线是否垂直判断B；将面与面展开在一个平面内，利用两点距离最短为线段求最小值判断C；首先证面，再判断的轨迹得长度判断D.
【详解】A：过作交于，又，故，
所以平面被正方体截得截面为四边形，故A错误；

B：取，又，，则，显然，
所以为平行四边形，故，连接，
而，显然，即不垂直，
所以不成立，故B错误；
C：将面与面展开在一个平面内，如下图，

要使最小，只需共线，则最小为，故C正确；
D：如下图中面，面，则，又，
，面，则面，面，
所以，同理可证，，且面，
所以面，要使，且是侧面上的一个动点（含边界），
所以的轨迹为线段，长度为，故D正确.

故选CD.
13．【答案】1350
【分析】由题意，求出高三年级中抽取的人数，由分层抽样的方法列式求解即可.
【详解】由题意，高三年级中抽取了人，
设该高中三个年级的学生总数为人，
由分层抽样的方法可知，解得，
故答案为：1350.
14．【答案】
【分析】作出与平面所成角，根据即可得出答案．
【详解】取的中点，连接，则，
故与平面所成角和与平面所成角相等，
连接交于点，则，
平面，平面，，
平面
平面，
为与平面所成角，
设正方体棱长为，则，，
．
故答案为：.
15．【答案】178
【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中人数所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．
【详解】由题意可知甲队的平均数为，乙队体重的平均数为，
甲队队员在所有队员中人数所占权重为，
乙队队员在所有队员中人数所占权重为，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为，
甲、乙两队全部队员体重的方差为．
故答案为：178．
16．【答案】
【分析】根据条件求出A到连通的概率为；到连通的概率为，即可求出A到连通的概率.
【详解】由题意可知A到连通的概率为；
到连通的概率为，
故C到连通的概率为，
所以A到连通的概率为．
故答案为：.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意在中，，，，
由正弦定理可得.
（2）由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）证明线面平行，转化为线线平行即可，连接，与交于，连接，可得，即可证明；
（2）先证明平面，由可知平面，即可证明平面平面.
【详解】（1）证明：由题意，是三棱柱，
连接，与交于，连接，可得，
平面，平面，
平面.
（2）是的中点，是的中点，
则，四边形为平行四边形，
则，
又平面，平面，得平面，
由可知平面，
又平面，
平面平面.
19．【答案】(1)样本空间见详解，；
(2).
【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.
【详解】（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，，
记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以.
（2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，
事件“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
所以.
20．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证明平面，从而得出，，最后由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）分别以点、为三棱锥的顶点，利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：∵平面，平面，∴，
又∵，，、平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵平面，平面，∴，
又，、平面，
∴平面.
（2）解：由，且为梯形，，且，
则为菱形，所以.
由（1）得，，又，所以，则，
从而有是边长为2的等边三角形.
在中：，，
设到平面的距离为，
由得，
解得，即到平面的距离为.
【关键点拨】在证明点到平面的距离时，关键是采用等体积法求高，从而得出点到平面的距离.
21．【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）由频率分布直方图得第七组的频率，再计算该校的名学生这次考试成绩的平均分；
（2）求出样本成绩属于第六组的有人，设为，样本成绩属于第八组的有人，设为， 即可得基本事件有共个，他们的分差的绝对值不超过分包含的基本事件个数共个，即可得概率
【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
．
用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为：
．
（2）样本成绩属于第六组的有人，设为，
样本成绩属于第八组的有人，设为，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，
基本事件有：，，，，，，，，，共个，
他们的分差的绝对值不超过分包含的基本事件个数，，，共个，
所以他们的分差的绝对值不超过分的概率．
22．【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.
（2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面，
而平面，则，由为的中点，得，
则四边形是平行四边形，因此，
所以.
（2）（ⅰ）由为的中点，，则，而，
平面，于是平面，平面，
则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，
在中，，而，
解得，则，由平面，得直线与平面所成角为，
显然，则，
所以直线与平面所成角为.
（ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形，
，，由三角形面积法得，
由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点，
在直角梯形中，，则，
，显然∽，则，
于是，，为线段的中点，
显然是二面角的平面角，在正中，，
由平面，平面，则，平面，
于是平面，而平面，则，，
所以二面角的余弦值.
【方法总结】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．