宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 设随机变量的方差，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式直接计算即可.
【详解】.
故选：C.
2. 一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据独立事件概率公式计算即可．
【详解】设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝．
故选：D
3. 2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若，，，四人在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A. 12种B. 16种C. 64种D. 81种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分步原理计算即可得出结果.
【详解】每人都可在三项运动中选一项，即每人都有三种选法，
可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法有种.
故选：D
4. 已知，，，求（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用条件概率公式计算.
【详解】由题可得.
故选：C.
5. 若随机变量X的分布列为
则X的数学期望（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布列的性质，结合期望公式，即可求解．
【详解】解：由题意可得，，
由期望公式，可得．
故选：．
6. 在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，则下列结论中不正确的是（ ）
（参考数据：若，则，，.）
A. 这次测试平均成绩为110
B. 越小，测试成绩在内的概率越大
C. 测试成绩小于100分和大于120分的概率相等
D. 当时，测试成绩小于130分的概率为0.6827
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可.
【详解】对于A选项：正态分布中，括号里面表示随机变量服从均值为，方差为的正态分布，因为成绩服从正态分布，所以A是正确的.
对于B选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以越小，测试成绩在内概率越大，所以B是正确的.
对于C选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C是正确的.
对于D选项：当时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D错误.
故选：D.
7. 设随机变量，记，，下列说法正确的是（ ）
A. 当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.二项分布当时是对称的，当时向右偏倚，当时向左偏倚
B. 如果为正整数，当且仅当时，取最大值
C. 如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，分析可判断BC选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A选项；根据二项分布的期望公式可判断D选项.
【详解】因为，，，
由，得，
解得，
若为正整数，则或时，取最大值，故B错误；
若为非整数，则取整数部分时，取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大.
根据二项分布的图象性质可得，当时是对称的，当时向左偏倚，当时向右偏倚，故A错误；
而，故D错误.
故选：C.
8. 已知5个医生（其中有一对夫妻）分配到3个地区，要求每个地区至少一个医生，则这对夫妻分配到同一个地区的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出5个医生分配到3个地区，每个地区至少一个医生的方法数，再求其中这对夫妻分配到同一个地区的方法数，再由古典概型概率公式求概率.
【详解】将5个医生分配到3个地区，每个地区至少一个医生的不同分配方法共有
种，
其中互为夫妻的一对医生分配到同一地区的满足要求的不同分配方法共有
种，
所以事件这对夫妻分配到同一个地区的概率，
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 在二项式的展开式中，系数为有理数的项有( )
A. 第一项B. 第三项C. 第四项D. 第五项
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出二项式的展开式通项，判断系数为有理数时r的取值即可判断有理项．
【详解】二项式的展开式的通项为，
则当r=0，2，4时，系数为有理数，
故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项．
故选：ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差
B. 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的
C. 正态曲线可以关于y轴对称
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据正态曲线的相关定义，逐个选项进行判断即可得到答案
【详解】对于A，正态曲线中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，故A错误；
对于B，正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故B错误；
对于C，正态曲线关于直线对称，当时，正态曲线关于y轴对称，故C正确；
对于D，根据正态曲线的图像性质，，故D正确.
故选：CD
11. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；
【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；
故选：BD
12. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为
C. 经过6次试验后试验停止的概率为
D. 经过6次试验后试验停止的概率最大
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果.
【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则.
从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，
对于A项,，
经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确；
对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确；
对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确；
对于D项，实验次结束的概率为，则，，
令，得化简可得，解得，即，
所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 在一组样本数据、、、（，、、、不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相关系数的定义可求得结果.
【详解】因为在直线方程中，斜率，
因为所有样本点都在直线上，
所以，这组样本数据的样本相关系数为.
故答案为：.
14. 在的展开式中，项的系数是__________（用数字作答）．
【答案】20
【解析】
【分析】利用二项式定理直接求得.
【详解】由二项式定理展开式可得，项的系数是.
故答案为：.
15. 某市举办全运会开幕式．现从5个节目中任选3个节目进行开幕式表演，若3个节目中有和时，需排在的前面出场（不一定相邻），则不同的出场方法有______种．
【答案】51；
【解析】
【分析】由题意分别讨论同时有A、B的情况和A、B没有同时入选的情况，采取先选后排的策略分析.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
（1）在5个节目中任选3个，同时有A、B时，有种选法，要求A需排在B的前面出场，有3种情况，则此时有种排法；
（2）A、B没有同时入选，有种选法，每种选法有种情况，则此时有种排法.
故一共有种排法.
故答案为：51
【点睛】本题考查了排列组合的有关知识，以及分类加法和分步乘法原理的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
16. 南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
【答案】156
【解析】
【分析】根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案
【详解】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，
故答案为：156
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. （1）计算：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据排列数公式计算可得；
（2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得.
【详解】（1）；
（2）由组合数的定义知：，解得，又，
或.
当时；
当时.
所以的值为或.
18. 若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列．
【答案】分布列见解析.
【解析】
【分析】根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得.
【详解】依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，或，
，或，
，或，
，或，
则X的分布列为
19. 5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信5G技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：
（1）利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
（2）求关于的线性回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出相关系数，判断两个变量有很强的线性相关性；
（2）计算出，求出线性回归方程.
【小问1详解】
由表中数据可得，，
∴，又，，
∴．
∴与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．
【小问2详解】
由表中数据可得，
则，
∴，
故关于的线性回归方程为．
20. 袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.
【答案】（1）5个；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.
（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.
于是可得其分布列为:
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．
21. 有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有大小、形状完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球．假设试验选到甲袋或乙袋的概率都是．
（1）求从袋子中摸出红球的概率；
（2）求在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式求解；
（2）利用条件概率公式计算可得结果.
【小问1详解】
设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，
“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球"为事件，
∵，
∴，
所以从袋子中摸出红球的概率为．
【小问2详解】
因为是对立事件，，又，
所以，
所以在摸出白球的条件下，该球来自甲袋的概率为.
22. 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）
【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．
【解析】
【分析】（1）设事件：被病毒感染的人群，随机变量的取值为：0，1，2，…，．得到事件服从二项分布，即可求解．
（2）①根据题意，第天新增加人数的数学期望，即可求解的值．
②求得，利用导数求得函数的单调性和最值，进而得到，，分别求得和的人数，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，
又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，
随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，
即，显然．
（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，
第2天被感染人数增至为：；
第3天被感染人数增至为：，…，
显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，
于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，
即，于是．
②根据题意函数，求导得：，
当且仅当时，，此时单调递增；当时，，
即单调递减，于是．
此时，，
于是（人），
（人）．
经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，
而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，
即远大于，于是戴口罩是非常必要的．
【点睛】本题以新冠疫情重大突发事件为背景命题，以病毒人传人大事件的预防建立数学模型来考查概率的相关概念、事件的划分、离散型随机变量的期望等概念的应用，同时考查了理性思维、抽象思维及逻辑推理、运算求解能力、读题理解能力、计算能力．
X
2
3
4
p
a
b
a
X
0
1
2
3
P
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
收益（亿元）
45
56
64
68
72