2024-2025学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非零向量a=(2,3,−1)和b=(4,λ,−2)互相垂直，则λ的值是( )
A. −6B. 6C. −103D. 103
2.有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
3.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是13，那么另一组数据3x1−1，3x2−1，3x3−1，3x4−1，3x5−1的方差是( )
A. 13B. 43C. 1D. 3
4.已知事件A，B是相互独立事件，且P(A)=23，P(B)=34，则P(AB−)=( )
A. 112B. 12C. 512D. 1112
5.已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是( )
A. 若l⊥n，m⊥n，则l//m B. 若l⊥α，l//β，则α⊥β
C. 若l⊥α，l⊥m，则m//α D. 若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，点E为PA的中点，AB=BC=1，AD=2,PA= 2，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A. 33 B. 63
C. 36 D. 66
7.如图，三棱锥P−ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体BCFEGH的体积为( )
A. 12V
B. 49V
C. 59V
D. 35V
8.在正三棱锥P−ABC中，PA=AB=2 6，点M为空间中的一点，则MP⋅(MA+MB+MC)的最小值为( )
A. −16B. −14C. −12D. −8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于样本数据5，2，7，9，8，11，说法正确的是( )
A. 中位数为7B. 中位数为7.5C. 极差为9D. 方差为2
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 两个非零向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 设{a,b,c}是空间中的一组基底，则{a−b,b+c,a+c}也是空间的一组基底
D. 若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，则A，B，C三点共线
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足BP=λBC+μBB1(0≤λ,μ≤1)，则下列说法正确的是( )
A. 若D1P//平面A1BD，则λ2+μ2最小值为12
B. 若PO⊥平面A1BD，则λ=12,μ=1
C. 若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为 33
D. 若λ=1，0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈[ 33, 63]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为______．
5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248
2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911
13.刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的(2k+1)阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，即把1，2，…，n2排成n×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则这三个数中仅有1个奇数的概率是______．
14.已知圆锥的底面半径为 3，侧面积是6π，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人分别对A，B两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中A，B的概率均为12，乙击中A，B的概率分别为13，25．
(1)求A被击毁的概率；
(2)求恰有1个目标被击毁的概率．
16.(本小题15分)
某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数xi(i=1,2,3,⋯,200)全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：[45,55)，[55,65)，…，[85,95]，整理得到如下频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表)．
(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x−；
(2)试估计这200名学生的分数xi(i=1,2,3,⋯,200)的方差s2，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了[x−−2s,x−+2s]范围内？(参考数据： 129≈11.4)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2 2，AB=AC=PA=2．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)过AC的平面交PD于点M，若VM−PAC=12VP−ACD，求三棱锥P−AMC的体积．
18.(本小题17分)
甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．
19.(本小题17分)
如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，AC与DP交于点O.将△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，得到三棱锥D−ABC，使得二面角B−AC−D为直二面角(如图2)．

(1)求证：BC//平面POD′；
(2)求平面ABC与平面BCD的夹角的大小；
(3)在线段PD′上是否存在点Q，使得平面OCQ⊥平面ABD′？若存在，求出PQPD′的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
利用非零向量a⊥b⇔a⋅b=0即可．
【解答】
解：∵a⊥b，
∴a⋅b=2×4+3×λ+(−1)×(−2)=0，
化为3λ=−10，解得λ=−103．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查事件样本概念，属于基础题．
从从这4张卡片中随机抽取2张卡片，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括的结果，可以通过列举得到．
【解答】
解：由题意知，从从这4张卡片中随机抽取2张卡片，
取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，
共有四种结果，
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意可知3x1−1，3x2−1，3x3−1，3x4−1，3x4−1的方差是9×13=3．
故选：D．
根据方差的性质直接运算求解．
本题考查了方差的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，因为事件A，B是相互独立事件，所以事件A−，B−也是相互独立事件，
则P(AB−)=P(A−)P(B−)=[1−P(A)][1−P(B)]=13×14=112．
故选：A．
根据相互独立事件的性质可知事件A−，B−也是相互独立事件，再由相互独立事件的概率公式计算可得．
本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：对于A，若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或异面，所以A选项错误；
对于B，若l/​/β，则存在l1⊂β，使得l/​/l1，又因为l⊥α，l1⊥α，而l1⊂β，所以α⊥β，故B正确；
对于C，若l⊥α，l⊥m，则m/​/α或m⊂α，故C错误；
对于D，若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，且如果l不在α内，则不会有l⊥β，故D错误．
故选：B．
对于A，由只需之间的位置关系即可判断；对于B，由面面垂直的判定即可判断；对于C，由线面位置关系即可判断；对于D，由面面垂直的性质即可判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，
点E为PA的中点，AB=BC=1，AD=2,PA= 2，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,0, 22)，
BE=(−1,0, 22)，CD=(−1,1,0)，
则异面直线BE与CD所成角的余弦值为：
|cs|=|BE⋅CD||BE|⋅|CD|=1 32⋅ 2= 33．
故选：A．
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：连接EC，EH，
∵SΔFHC=13×23S△PAC，
∴VE−EHC=12×23VE−APC=13×23×13VB−APC=227VB−APC．SHGBA=SΔABC−23×23SΔABC=59SΔABC，VE−HGBC=23VP−HGBC=23×(29)VP−ABC=1027VP−ABC，
∴多面体BCFEGH体积为：VE−FHC+VE−HGBC=49V．
故选：B．
多面体BCFEGH体积为三棱锥E−FHC与四棱锥E−HGBC体积之和，再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可．
本题考查棱锥的体积，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC的重心为O，点D是BC的中点，点G是PO的中点，
在正三棱锥P−ABC中，PA=AB=2 6，所以AO=23AD=2 2，AO=2OD，
PO⊥平面ABC，又AO⊂平面ABC，所以PO⊥AO，
可得PO= PA2−AO2=4，
又因为MA+MB+MC=MO+OA+2MD=MO+OA+2(MO+OD)=3MO+OA+2OD=3MO，
所以MP⋅(MA+MB+MC)=(MG+GO)⋅3MO=3(MG+GO)⋅(MG+OG)
=3(MG2−GO2)=3(MG2−PO22)=3(MG2−4)，
所以当M与G重合时，MG2到最小值0，
此时MP⋅(MA+MB+MC)有最小值−12．
故选：C．
记△ABC的重心为O，点D是BC的中点，点G是PO的中点，进而求得PO=4，利用空间向量加减、数乘的几何意义，将MP⋅(MA+MB+MC)化为3(MG2−4)，数形结合求最小值．
本题考查向量的运算性质的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：AB选项，按照从小到大排序如下：2，5，7，8，9，11，共6个数据，
所以第3和第4个数据的平均数为中位数，即7+82=7.5，A错误，B正确；
C选项，极差为11−2=9，C正确；
D选项，平均数为5+2+7+9+8+116=7，故方差为(5−7)2+(2−7)2+(7−7)2+(9−7)2+(8−7)2+(11−7)26=253，D错误．
故选：BC．
AB选项，将数据从小到大排列，从而利用中位数的定义进行求解；C选项，利用极差的定义计算即可；D选项，先计算出平均数，从而计算出方差．
本题考查了中位数，极差，方差的求解，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，非零向量a，b，若a⋅b=0，则a⊥b，故A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，
因为16+13+12=1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设{a,b,c}是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：a−b=−(b+c)+(a+c)，
所以{a−b,b+c,a+c}不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，PC=14PA+34PB，
由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：ABD．
由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判定B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断D．
本题主要考查向量垂直的性质，空间向量基本定理，四点共面与三点共线的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：如图，以点D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)，A1(2,0,2)，
C1(0,2,2)，O(1,1,0)，
则BC=(−2,0,0),BB1=(0,0,2)，BP=λBC+μBB1=(−2λ,0,2μ)，
对于A：A1B=(0,2,−2),DA1=(2,0,2),D1B=(2,2,−2)，
设平面A1BD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⊥A1Bm⊥DA1，则m⋅A1B=0m⋅DA1=0，则有2y−2z=02x+2z=0，
令x=1，则y=z=−1，故m=(1,−1,−1)．
因为，D1P//平面A1BD，
所以m⋅D1P=2−2λ−2−2μ+2=0，得λ+μ=1，
又因为0≤λ，μ≤1，所以λ2+μ2≥(λ+μ)22=12，
当且仅当λ=μ=12时，等号成立，
所以λ2+μ2的最小值为12，故A正确；
对于B：BO=(−1,−1,0)，
则PO=BO−BP=(2λ−1,−1,−2μ)，
若PO⊥平面A1BD，则有PO//m，
即2λ−11=−1−1=−2μ−1，
解得λ=1,μ=12，故B错误；
对于C：若λ=μ=12，则BP=(−1,0,1)，
则P到平面A1BD的距离为|BP⋅m||m|=|−1−1| 3=23 3，故C错误；
对于D：BD=(−2,−2,0)，
当λ=1，0≤μ≤1时，DP=BP−BD=(0,2,2μ)，
则|cs|=|DP⋅m||DP||m|=|2μ+2| 3× 4+4μ2= 33 (μ+1)2μ2+1
= 33 1+2μμ2+1，
当μ=0时，|cs|= 33，
当0