2025年中考考前押题最后一卷：数学（河北卷）（解析版）

这是一份2025年中考考前押题最后一卷：数学（河北卷）（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在图中，与是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此求解即可．
【详解】解：由对顶角的定义可得，四个选项中，只有C选项中的与是对顶角，
故选：C．
2．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查几何体的俯视图．根据题意观察图形即可得到本题答案．
【详解】
解：∵图③“阳马”的俯视图是，
故选：A．
3．下列各数：，，0，，其中比3大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键．先求解，再比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比3大的数为，
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
5．年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
本题根据科学记数法知识进行作答，即可求解．
【详解】解：∵，
故选：C．
6．如图，点A是硬币圆周上一点，点A与数2所对应的点重合．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题．
【详解】解：硬币的直径为1个单位长度，
硬币的周长为，
点A为2，
点对应的实数是，
故选：B．
7．如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查利用树状图求概率，首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果， 然后求得李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的情况数，再利用概率公式求解，即可解题．
【详解】解：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果有8种，李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种，
则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为．
故选：C．
8．如图，A，B两点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将线段平移至，， ，
∴平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
∴，
∴，
故选D．
9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：
（1）分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N，
（2）作直线，交于D，连接，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线是线段的垂直平分线B．
C．点D为△ABC的外心D．点D为△ABC的内心
【答案】D
【分析】本题考查基本作图，三角形外心和内切圆等知识．根据题意通过作图步骤和已知条件，判断直线的性质，以及点在△ABC中的位置和性质．
【详解】解：由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴点D为△ABC的外心，
∴，
∴A，B，C正确，
故选：D．
10．已知，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两根，可得，，把去括号，可得：原式，再利用整体代入求值即可．
【详解】解：，是方程的两根，
，，
．
故选：A．
11．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动，
如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值，
将代入得，，
解得，（不合，舍去），
∴的最小值是；
如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，
将代入得， ，
解得，（不合，舍去），
∴的最小值是；
综上，，
故选：．
12．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】当点E与点B重合时，点F与点C重合，可得E，F不一定为边的中点，故①错误；将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，．求出，，可得，故②正确；根据，求出的周长为为定值，故③正确；将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，推出，由勾股定理得，即，故④正确；
【详解】解：∵，
当点E与点B重合时，点F与点C重合，
∴E，F不一定为边的中点，故①错误；
将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，
由旋转可得，，
，，，
，
因此，点，，在同一条直线上．
，
．
，
．
即．
在与中，
．
，
当时，
∵正方形中，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴的周长为为定值，故③正确；
将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
，
，
，
，
在和中，，，
，
在正方形中，，
，
，即，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转作图来解答．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，13至15小题，每小题3分，16小题每空1分，共12分）
13．将因式分解的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，涉及平方差公式因式分解，熟记平方差公式是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ．
【答案】64
【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
解得，∴x的最大值是64．故答案为：64
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
根据一次函数解析式求出，两点坐标，构造直角三角形，证出，根据相似比求出线段长度，确定点坐标，即可求出值．
【详解】解：
∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，
∴时，，，
当时，，，
，
∵，
，
过点作轴于点D，则，
∵，，
，
，
解得，
∴，
∴，
故答案为：12．
16．某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动．
（）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走．
①机器人从点走到点的路程为 ；
②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则 ；（填“”“”或“”）
（）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则 ．
【答案】
【分析】（）①由中心角为，得从点走到点其路径对的圆心角为，根据半径为利用勾股定理计算即可； ②根据中心角为，得，继而可判定，， 都是等边三角形，得到， 得到，根据，得到为圆的直径， 根据中心角为，得到，，， 可得，，即得，比较大小即可求解；
（）设多边形的中心角为，当转到时，，，根据可求得，进而即可求解．
【详解】解：（）①∵中心角为，
∴从点走到点其路径对的圆心角为，
∵，∴，
故答案为：；
②∵中心角为， ∴，
∴，， 都是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为圆的直径， ∴，，，
∴，，∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（）设多边形的中心角为，
当转到时，，，
∵，
∴， 解得，
∵半径相等， ∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中心角的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，无理数的估算，等腰三角形的性质，熟练掌握中心角的计算是解题的关键．
解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分7分）如图，将一条数轴在点，点，点，点处各折一下，得到“折线数轴”．图中点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为8，点表示的数为12．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，动点上坡时的速度是初始速度的一半，下坡时的速度是初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变．
(1)求动点出发3秒时，所在位置对应的数是多少；
(2)动点从点运动到点需要多少秒？
【详解】（1）解：由题意可知，动点在段所用时间为秒，………………1分
所以出发3秒时，动点在段上，所以，
所以动点出发3秒时，所在位置对应的数是；……………………………………3分
（2）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，
，， ……………………………………5分
所以动点从点运动至点需要的时间为（秒）．…………………………7分
18．(本小题满分8分）如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”,常数k称为“和整值”，如分式M= ，N=,M+N==1.则M与N互为“和整分式”,“和整值”k=1.
(1)已知分式A=，B=，判断A与B是否互为“和整分式”,若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k;
(2)已知分式C=,D=4,C与D互为“和整分式”,且“和整值”k=3,求G;
【详解】
19．(本小题满分8分）《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
(1)本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著；
(4)小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率．
【详解】（1）解：本次调查一共抽取了名学生，
80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2，
故中位数为（部）． …………………………………2分
（2）解：读完一部的人数为：（人），
将条形统计图补充如下： …………………………………3分
（3）解：（名），
∴至少阅读2部名著的学生有288名． …………………………………4分
（4）解：画树状图如图所示：
…………………………7分
由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种，
∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：．…………………………………8分
20．(本小题满分8分）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮与水平面相切于点，线绳绕过绳轮汇聚于点处放置的锭子上，即线绳与相切于点，过切点的直径与交于点（图中点在同一平面内）．

(1)求证：．
(2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心与处锭子之间的水平距离在之间时，纺线较为舒适．若，，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：）
【详解】（1）证明：和为的切线，
，
， …………………………………2分
在四边形中，
，
，
又，
； …………………………………4分
（2）解：该纺车纺线时不舒适，理由如下：
过点分别作于点，于点，如解图所示，则四边形是矩形，
，，
由题意得：，
在中，，
，，
， …………………………………6分
在中，，
，
，
， …………………………………7分
该纺车纺线时不舒适． …………………………………8分
21．(本小题满分9分）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上．
(1)求此时操作平台离地面的高度；
(2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，）
【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，
，，，
， …………………………………2分
在中，，
，
．
答：操作平台A离地面的高度约为． …………………………………4分
（2）解：能，理由如下：
如图：连接，由题意可知，，最长为，…………………………5分
在中，，
，
， …………………………………7分
在中，根据勾股定理得：，
，
，
操作平台能到达楼顶． …………………………………9分
22．(本小题满分9分）小海和小桐相约去博物馆参观．小海从学校步行出发直接去博物馆．同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程s（米）与所经过的时间t（分）之间的函数关系如图2所示．
(1)求小桐骑自行车的速度和小海步行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)小桐离开超市去博物馆的途中与小海相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程．
【详解】（1）解：小桐骑自行车的速度为：米/分，
小海步行的速度为：米/分； …………………………………2分
解：根据题意，点B的坐标为，则点C的坐标为．因为小桐从超市到博物馆所用的时间为分，
则点D的坐标为． …………………………………4分
设线段所在直线的函数表达式为，
把，代入表达式得，
解得，
所以线段所在直线的函数表达式为；…………………………………6分
（3）解：设线段所在直线的函数表达式为，
把，代入表达式得，
解得， …………………………………7分
所以线段所在直线的函数表达式为．
可列方程组，
解得， …………………………………8分
所以相遇时他们距离博物馆的路程为米．………………………………9分
23．(本小题满分11分）2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙，且、之间的水平距离为8米．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)为了彩带造型美观，小亮把彩带从点处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点到地面的距离；
(3)为了避免人的头部触到彩带，小亮将点到地面的距离提升为3米，并调整点的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米．
①试探究与的关系式；
②当时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，则，
解得：；
又∵，
∴，则抛物线的表达式为：，
当时，，
即顶点坐标为：； …………………………………3分
（2）设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，（米），
即点到地面的距离为2.25米； …………………………………6分
（3）①由题意知，点、纵坐标均为3，
∴抛物线中、对称，
∴抛物线的顶点的横坐标为：，
∴抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
整理得：； …………………………………9分
②当时，即，
解得：（不合题意的值已舍去）；
当时，同理可得：，
故的取值范围为：． …………………………………11分
24．(本小题满分12分）如图．在△ABC中，，，为线段上一点，直线经过点，且，为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，作的平分线，交直线于点，当点落在上时；猜想与的数是关系，并证明．
(3)已知，作射线交直线于点．
①如图3，若，当为线段的中点时，求线段的长；
②如图4，点在直线的下方，且，以为边在的右侧作正方形，当点落在射线上时，直接写出线段的长．
【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，，
，，
，
，
，
，
． …………………………………3分
（2）解：，证明如下：
是的平分线，点落在上，
，
又，
，
，
， …………………………………5分
由（1）得，，
，
，
． …………………………………7分
（3）解：①如图，过点作交于点，交于点，
，
，，
，
为线段的中点，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可得：，
，
又，，
，，
，
由（1）得，，，
，
线段的长为； …………………………………10分
②如图，作交延长线于点，则，
由（1）得，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
，，
正方形，
，
点落在射线上，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
解得：，，
线段的长为或． …………………………………12分