2025年中考考前押题最后一卷：数学（北京卷）（解析版）

这是一份2025年中考考前押题最后一卷：数学（北京卷）（解析版），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（本题2分）戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．（本题2分）2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为（ ）千克．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为千克．
故选：A．
3．（本题2分）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，根据垂线的定义得到，根据对顶角相等得到，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．（本题2分）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴，能够根据有理数在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数，在数轴上对应点的位置进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
故选：D．
5．（本题2分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个），
故选：C．
6．（本题2分）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．实数根的个数由b的值确定B．没有实数根
C．两根互为倒数D．若，则两根互为相反数
【答案】D
【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根，
两根之积等于，
当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数，
故选：D．
7．（本题2分）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图：
第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点；
第三步：作射线，交于点，交延长线于点．
作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．②③D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定．
【详解】解：由作图可知，为的角平分，
∴，故①正确；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误；
∴，
∵，
∴，故②正确，
故选：B．
8．（本题2分）如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是( )
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
【答案】C
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可．
【详解】解：如图所示：
根据图（1）（2）可得，当点到达点时，点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故①正确；
动点，同时从点出发，运动速度都是秒，设、同时出发秒时，
当点在上时，，即是等腰三角形，则，
过点作于点，如图所示：
，
从到的变化是2，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
设，
在中，由勾股定理可得，则，解得，
，
当点在上时，，故②错误；
，
当时，，故③正确；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及从函数图象中获取信息、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，根据图（1）（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（本题2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：若分式在实数范围内有意义，
则，
解得，且．
故答案为：且．
10．（本题2分）分解因式： .
【答案】
【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键．
【详解】解：
故答案为：．
11．（本题2分）方程的解是
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，化为整式方程，再解即可，注意验根．
【详解】解：，
去分母，得，
化简，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
12．（本题2分）下面是某小区随机抽取的60户家庭的某月用电量（千瓦时/户/月）情况统计表：
已知该小区有1800户家庭，由此估计月用电量超过300千瓦时的家庭有 户．
【答案】570
【分析】本题考查频数分布表，用样本估计总体，能从频数分布表中获取有用信息是解题的关键．
将样本中月用电量超过300千瓦时的家庭数所占比例乘以1800即可作出估计．
【详解】解：（户，
估计月用电量超过300千瓦时的家庭有570户，
故答案为：570．
13．（本题2分）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键．
【详解】解：
∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵点在反比例函数，且，
∴点在同一象限，
，
当在第一象限时，
若，则，
；
若，则，
；
当在第三象限时，
若，则，
；
若，则，
；
综上，，
故答案为：．
14．（本题2分）如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．

【答案】/70度
【分析】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．
连接，根据圆周角定理求出和，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
故答案为：．
15．（本题2分）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：∵，，
∴在中，
∴在中，
在中，
∵，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
16．（本题2分）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
（1）第一局投中A区5次，B区5次，则本局得分是 分；
（2）第二局投中A区7次，B区m次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局降低了2分，则 ．
【答案】 15 1
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可列出方程，然后进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：
（分）；
故答案为15；
（2）由题意得：
解得：；
故答案为1．
三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（本题5分）计算．
【答案】3
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数进行计算即可．
【详解】解：原式
18．（本题5分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
19．（本题5分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定方法证明即可．
（2）由矩形的性质得出，利用勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
21．（本题6分）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“致远号”的行驶速度为米/秒．
22．（本题5分）已知直线与直线．
(1)如果，当x取何值时，？
(2)如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足，求整数n的值．
【答案】(1)当时，
(2)或
【分析】本题考查了两条直线相交问题，关键是根据两直线相交联立方程解答．
（1）把代入直线解析式，列出不等式即可求解；
（2）根据两直线相交联立方程解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴直线，直线．
依题意有，
解得，
故当时，；
（2）解：由得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
又∵n是整数，
∴整数或．
23．（本题5分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空：_____；
(2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐；
(3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人；
(4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____；
(5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
【答案】(1)7.5
(2)乙
(3)500
(4)
(5)见解析
【分析】本题考查了方差，加权平均数，中位数和众数，概率等知识，解题的关键是．
（1）根据中位数的定义和计算公式计算即可；
（2）从方差角度进行分析即可；
（3）先计算出乙组的优秀率，然后求出全校平均优秀率，最后用1600乘以全校平均优秀率即可；
（4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解；
（5）从优秀率，中位数等角度中进行分析即可．．
【详解】（1）解：，
故答案为：7.5；
（2）解：∵，
∴乙组成绩波动较小，
∴乙组的初赛成绩更整齐，
故答案为：乙；
（3）解：乙组的优秀率为，
全校的平均优秀率为，
估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有人，
故答案为：500；
（4）解：设女生为A，男生为B，
列表如下：
∴共有20种可能结果，其中恰好抽出一男一女的结果有12种，
∴P（两人同时看同一个直播节目）．
（5）解：乙组中7出现的次数最多，则众数，
从优秀率看：甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
从中位数看，甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数7，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好．
24．（本题6分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
(1)求证：是的切线；
(2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得；
（2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图2，连接交于，
，
，
是劣弧的中点，
，，，
∵，，
，
，
，
由（1）知，
，
，即，
解得，；
，，，
∴，
，
；
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键．
25．（本题5分）已知二次函数的图像顶点为，且经过点．
(1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ．
(2)求这个二次函数的表达式；
(3)请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)（或）
(3)
【分析】考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点问题．
（1）根据对称轴及与x轴的一个交点求得另一个交点坐标；
（2）设出二次函数的顶点式，然后代入顶点坐标及经过的一点即可求得解析式；
（3）结合图形确定自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：观察图象知：对称轴为，与x轴交于一点，
所以图象与x轴另一交点为；
（2）解：设二次函数的解析式为，
∵图象顶点为，
∴，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴解析式为；
（3）解：结合图象知：当函数值时，x的取值范围．
26．（本题6分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
(1)把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？
【答案】(1)，见解析；
(2)当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润．
【分析】本题考查画函数图象，求一次函数解析式，二元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是根据题意列出方程与求出函数解析式．
（1）描点，由图可猜想与是一次函数关系，利用待定系数法求出表达式即可；
（2）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此列方程，求解即可值．
【详解】（1）解：画图如图；
由图可猜想与是一次函数关系．
设一次函数的解析式为
一次函数的图象经过，这两点，
，解得，
函数关系式是：；
（2）解：根据题意，得
化简整理，得，
解得：，
答：当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润．
27．（本题7分）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，的延长线交于点．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题：
①猜测与的数量关系，并加以证明；
②若，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，见解析；②
【分析】（1）根据余角的性质得出，根据等腰三角形的性质求出．根据三角形内角和定理求出；
（2）连接，根据等腰三角形的判定和性质，进行证明即可；
（3）①过点作，垂足为，证明，得出，证明，得出，证明，即可得出结论；
②设．在中，根据勾股定理得出，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，最后根据中位线性质求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
．
；
（2）证明：如图，连接．
根据旋转可知：，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：①．
证明：如图，过点作，垂足为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图2，设．
由①知，
，
．
，
在中，，
，
解得（舍去）或，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
．
由①知，
是的中位线
．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
28．（本题7分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接．
（1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由；
（2） 线段的最大值为 ．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值．
【迁移拓展】
（4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值．
【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）的值最大是；（4）的最大值为，最小值为．
【分析】（1）根据题意作图，连接，根据等边三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）根据题意可得的最大值即为的最大值，当点三点共线时，的值最大，由的半径为1， 点，得到的最大值为，由此即可求解；
（3）根据题意，将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，得到，，则是等腰直角三角形，则有的最大值即为的最大值，当点三点共线时，，即最大值为，分别求出，的值即可求解；
（4）根据题意，分类讨论：以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最大值即为的最大值，当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大；当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最小值即可为的最小值，当时，的值最小；根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）与相等的线段是，理由如下，
根据题意，，是等边三角形，作图如下，连接，
∴，
∴点在以点为圆心，以为半径的上，
∵，是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴与相等的线段是，
故答案为：；
（2）∵，
∴的最大值即为的最大值，
在中，
∵，
∴当点三点共线时，的值最大，
∵的半径为1， 点，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：；
（3）∵，
∴将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，则，
∴，，则是等腰直角三角形，
∴的最大值即为的最大值，
∵，
∴当点三点共线时，，即最大值为，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的值最大是，
∴的值最大是；
（4）如图所示，以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值即为的最大值，
∵点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，
∴当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大，如图所示，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为；
如图所示，当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值即可为的最小值，当时，的值最小，
同理，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
综上所述，的最大值为，最小值为．
【点睛】本题主要考查坐标于图形，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握圆的基础知识，正确作出辅助线，构造三角形全等，数形结合分析思想是解题的关键．
月用电量x
户数 （户）
7
15
19
14
5
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
2
1
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
7
4.48
37.5%
乙组
7.625
7
0.73
A
A
B
B
B
A
A
B
B
B
销售单价（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量（件）
…
500
400
300
200
…