专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 知识精讲-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

专题五    用空间向量研究距离、夹角问题

一 知识结构图

二.学法指导

1．向量法求空间角的一般步骤

(1)向量表示

法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.

(2)向量运算

①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；

②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；

③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．

(3)解释结论

①由于直线a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.

②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.

③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉|.

2．向量法求空间中的距离

(1)点A，B间的距离．

d＝||

(2)点A到直线a的距离

d＝，其中B∈a，a是直线a的方向向量．

(3)点A到平面α的距离．

d＝，其中B∈α，n是平面α的法向量．

三.知识点贯通

知识点1   距离问题

空间距离的向量求法

例题1.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．

知识点二   求两条异面直线所成的角

空间角的向量求法

例题2：如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．

知识点三   直线与平面所成的角

空间角的向量求法

例题3 .如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．

(1)证明：EF⊥BC；

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

知识点四  平面与平面的夹角

空间角的向量求法

例题4．　如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

(1)证明：O1O⊥底面ABCD；

(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．

五 易错点分析

易错一  利用向量求异面直线所成的角

例题5.如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．

易错二 利用向量求直线与平面所成的角

例题6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．