人教A版高二数学选修第一册 第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系讲义（学生版+教师版）

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模块二 基础知识梳理
知识点01：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【即学即练1】（高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．外切D．内含
知识点02：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练2】（高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．5C．D．
知识点03：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
【即学即练3】（·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ．
知识点04：圆系方程
(1) 以为圆心的同心圆圆系方程：；
(2) 与圆同心圆的圆系方程为；
(3) 过直线 ????? ????????.????3 \∗ ??????????? ????? ????????.????3 ????? ????????.????3 与圆交点的圆系方程为

4 过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
模块三 核心考点梳理
题型01判断圆与圆的位置关系
【典例1】（·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含B．相切C．相交D．外离
【典例2】（高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【典例3】（高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
【变式1】（·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．内切D．相离
【变式2】（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
【变式3】（高二下·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
题型02求两圆交点坐标
【典例1】（高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和B．和
C．和D．和
【典例2】（高二·全国·课后作业）圆与的交点坐标为 .
【变式1】（高二下·上海·阶段练习）判断圆与圆的位置关系并说明理由.若有公共点，则求出公共点坐标.
【变式2】（高二·全国·课后作业）求圆与圆的交点的坐标．
题型03由圆的位置关系确定参数
【典例1】（高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（ ）
A．1B．2C．1D．2
【典例2】（高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 .
【典例3】（高二上·河南省直辖县级单位·期末）若圆与圆只有唯一的公共点，则 .
【变式1】（高二下·上海闵行·期末）已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 .
【变式2】（高二下·上海·阶段练习）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 .
【变式3】（高三下·湖南岳阳·开学考试）若圆：与圆：外切，则的最大值为 ．
题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】（高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二下·上海·期中）已知圆．
(1)求直线被圆截得弦长；
(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．
【变式1】（高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（高三上·江苏·期末）若圆C与直线相切，且与圆相切于点，写出一个符合要求的圆C的标准方程: .

题型05相交圆的公共弦方程
【典例1】（高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ．
【变式1】（·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 .
【变式2】（高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 .
题型06两圆的公共弦长
【典例1】（高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
【典例2】（·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）．
A．B．C．D．
【变式1】（高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）．
A．B．C．4D．2
【变式2】（·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 .
题型07圆的公切线条数
【典例1】（高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条．
【变式1】（·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（高二下·黑龙江大庆·开学考试）若圆与圆有且仅有一条公切线，则 .
题型08圆的公切线方程
【典例1】（高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ．
【变式1】（高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【变式2】（多选）（高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
题型09圆的公切线长
【典例1】（·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 .
【典例2】（高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆．
(1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．
(2)若两圆外切，求的值及外公切线的长．
【变式1】（·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
【变式2】（高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.
模块四 强化训练

一、单选题
1．（高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
2．（高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A．B．C． D．
4．（高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）两圆与外切，则r的值为（ ）
A．B．
C．D．或
5．（高二上·重庆南岸·期中）已知圆与圆相交于，两点，且直线的方程为，则（ ）
A．3B．5C．7D．9
6．（高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（·辽宁·模拟预测）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则（ ）
A．0B．±1C．±2D．
8．（高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（·河北沧州·模拟预测）已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．直线的方程为
B．圆和圆共有4条公切线
C．若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10
D．经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为
10．（高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若和外离，则或
B．若和外切，则
C．当时，有且仅有一条直线与和均相切
D．当时，和内含
三、填空题
11．（·新疆喀什·二模）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
12．（高三下·山东德州·开学考试）已知圆与圆相交于两点，当为直角三角形时，的值为 .
四、解答题
13．（高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆方程；
(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.
14．（高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，．
(1)求两圆公共弦所在的直线方程；
(2)求两圆的公共弦长．
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含