人教A版高二数学选修第一册 第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系讲义（学生版+教师版）

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模块一 思维导图
模块二 基础知识梳理
知识点01：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
2.1几何法（优先推荐）
2.2代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
【即学即练1】（多选）（高二上·广东肇庆·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ）
A．B．
C．D．
知识点02：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
【即学即练2】（高二·全国·课后作业）圆截直线所得的弦长等于（ ）
A．B．C．1D．5
知识点03：直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
【即学即练3】（高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3B．C．D．
知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
【即学即练4】（高二上·福建三明·期末）圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
模块三 核心考点梳理
题型01判断直线与圆的位置关系
【典例1】（·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．1或2
【典例2】（·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【变式1】（高二下·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【变式2】（高二下·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．与a有关
题型02由直线与圆的位置关系求参数
【典例1】（高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
【典例2】（高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（高二·江苏·专题练习）若直线与圆：有一个公共点，则实数等于 .
【变式1】（·江西吉安·模拟预测）已知圆与直线有公共点，则整数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【变式2】（高三·全国·专题练习）已知圆，，，则“直线AB与圆C有公共点”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（·全国·模拟预测）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
题型03直线与圆相交问题
【典例1】（高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A．B．7C．D．8
【典例2】（高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求．
【变式1】（高三上·浙江·期中）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，当面积最大时，直线的斜率为 .（写出一个即可）
【变式2】（高三·全国·专题练习）已知圆上存在两点关于直线对称．
(1)求实数的值；
(2)若直线与圆交于两点，（为坐标原点），求圆的标准方程．
题型04求切线方程
【典例1】（高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ．
【典例3】（·山西·模拟预测）写出一个过点且与圆相切的直线方程 ．
【典例4】（高二上·广东茂名·期末）已知点在圆上，直线平分圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【变式1】（高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【变式2】（高二上·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 .
【变式3】（高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程
【变式4】（高二上·四川德阳·期末）已知圆经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线的方程.
题型05切线长（切点弦）问题
【典例1】（·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【典例2】（·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【典例3】（高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（高二上·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为 ；过切点A，B的直线方程为 ．
【变式1】（高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（ ）
A．1B．C．D．2
【变式2】（·四川宜宾·二模）已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式3】（·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ．
【变式4】（高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
题型06已知切线求参数
【典例1】（高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或3D．或
【典例2】（2023·陕西宝鸡·一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（高一·全国·课后作业）知点，直线及圆.
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)若直线与圆相切，求实数a的值．
【变式1】（多选）（高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（ ）
A．B．8C．D．18
【变式2】（高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 .
【变式3】（高二上·辽宁沈阳·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是 .
题型07圆的弦长与中点弦问题
【典例1】（高二下·河南驻马店·阶段练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ．
【变式1】（高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2B．4C．D．
【变式3】（高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 .
题型08已知圆的弦长求方程或参数
【典例1】（·贵州黔东南·二模）直线与圆交于，两点，若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【典例2】（·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或.
【典例3】（·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 .
【典例4】（高二下·安徽淮北·开学考试）已知半径大于1的圆与轴，轴均相切，圆心在第一象限，点在圆上．
(1)求圆的方程；
(2)过坐标原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程．
【变式1】（·全国·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．4D．
【变式2】（高二上·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A．B．C．D．1
【变式3】（高三下·重庆九龙坡·阶段练习）若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4】（·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 .
题型09圆内接三角形面积
【典例1】（高二下·河南·阶段练习）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．26B．C．13D．
【典例2】（·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 .
【典例3】（高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：与圆：交于两点，且.
(1)求实数的值；
(2)若点为直线：上的动点，求的面积.
【变式1】（高二上·四川成都·阶段练习）巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
【变式2】（高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 .
【变式3】（·全国·模拟预测）直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则 ；的面积为 ．
题型10直线与圆的实际应用
【典例1】（高一下·江苏无锡·阶段练习）在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？说明理由．如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？(精确到1min)，（参考数据：
【典例2】（高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．

(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
【典例3】（高二上·江苏苏州·阶段练习）已知圆，点．
(1)若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；
(2)过直线AB上的点P引圆O的两条切线切点为M，N，若，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围．
【变式1】（高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.
【变式2】（高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.
(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；
(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？
【变式3】（高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心为圆心，半径为400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km的速度做匀速直线运动：
(1)运输车将在无人区经历多少小时？
(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？
题型11直线与圆中的定点定值问题
【典例1】（高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点.
【典例2】（高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
【典例3】（高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
【变式1】（高二上·浙江宁波·阶段练习）平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
(1)求圆M的标准方程；
(2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
【变式2】（高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．
(1)若kAM＝2，kAN＝－，求△AMN的面积；
(2)若直线MN过点（1，0），求证：kAM·kAN为定值，并求此定值．
【变式3】（高二上·河北石家庄·期中）已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．
题型12根据直线与圆位置关系求距离最值
【典例1】（高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（高二上·浙江杭州·期中）已知直线：与直线：相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【变式2】（高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式3】（·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 .
题型13直线与圆综合问题
【典例1】（高三·全国·专题练习）已知圆，过圆外一点引圆的两条切线，切点分别为，且.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l的横截距为，纵截距为，直线l被圆C截得的弦长为，求的最小值．
【典例2】（高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；
(3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.
【典例3】（高二下·广东惠州·阶段练习）已知点，动点P满足，
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设动点P的轨迹为曲线C，若直线l过点，且曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程．
【变式1】（高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值．
【变式2】（高二·全国）､是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在，试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数？
(2)试确定是否为一个常数？
(3)设.试确定是否存在两个定点､，使，的斜率的乘积为一个常数？
【变式3】（高二上·北京·期中）已知圆为过点且斜率为的直线.
(1)若与圆相切，求直线的方程；
(2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.
模块四 强化训练
一、单选题
1．（高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（ ）
A．2B．4C．D．8
2．（·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A．B．2C．D．4
3．（高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（高三上·贵州黔东南·开学考试）若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．B．1C．0D．2
5．（高二上·上海·期末）已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（ ）
A．B．C．－3D．3
6．（高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（高二上·陕西汉中·阶段练习）直线截圆所得的弦长为，则的值为（ ）
A．－1B．1
C．3D．－3
8．（·山东菏泽·模拟预测）过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
二、多选题
9．（高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则的面积可能为（ ）
A．B．C．D．
10．（高二上·江苏连云港·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（ ）
A．圆关于直线对称的圆的方程为
B．直线被圆截得的弦长为
C．若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是
D．若点是圆上的动点，则的取值范围是
三、填空题
11．（高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 .
12．（·天津·二模）设直线和圆相交于两点.若，则实数 .
四、解答题
13．（高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点.
(1)求的一般式方程；
(2)若与圆：相交于两点，求.
14．（高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。